1. 

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}\)

<=> \(pq\left(x+y\right)=xy\)

Đặt: \(x=ta;y=tb\) với (a; b)=1

Ta có: \(pq.\left(a+b\right)=tab\)

<=> \(pq=\frac{t}{a+b}.ab\left(1\right)\)

 vì (a; b) =1 => a, b, a+b đôi một nguyên tố cùng nhau. (2)

(1); (2) => \(t⋮a+b\)

=> \(pq⋮ab\Rightarrow pq⋮a\)vì p; q là hai số nguyên tố nên \(a\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)

 TH1: a=1 => \(pq⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)

+) Khả năng 1: b=1 

(1) => \(t=2pq\)=> \(x=y=2pq\)( thỏa mãn)

+) Khả năng 2:  b=p

(1) => \(pq=\frac{t}{1+p}.p\Leftrightarrow t=\left(1+p\right)q=q+pq\)

=> \(x=at=q+pq;\)

\(y=at=pq+p^2q\)(tm)

+) Khả năng 3: b=q 

tương tự như trên

(1) => \(t=p\left(1+q\right)=p+pq\)

=> \(x=at=p+pq\)

\(y=bt=q\left(p+pq\right)=pq+pq^2\)

+) Khả năng 4: \(b=pq\)

(1) =>\(t=1+pq\)

=> \(x=1+pq;y=pq\left(1+pq\right)=1+p^2q^2\) 

 TH2: \(a=p\)

=> \(q⋮b\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=q\end{cases}}\)

+) KN1: \(b=1\)

Em làm tiếp nhé! Khá là dài

2. \(x^4+4=p.y^4\)

+) Với x chẵn 

Đặt x=2m ( m thuộc Z)

=> \(16m^2+4=py^4\)

=> \(py^4⋮4\Rightarrow y^4⋮4\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)=> Đặt y=2n ;n thuộc Z

Khi đó ta có:

\(16m^2+4=p.16n^2\Leftrightarrow4m^2+1=p.4n^2⋮4\)=> \(1⋮4\)( vô lí)

=> X chẵn loại

+) Với x lẻ

pt <=> \(x^4+4=py^4\)

<=> \(\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)=py^4\)(i)

Gọi  \(\left(x^2+2x+2;x^2-2x+2\right)=d\)(1)

=> \(x^2+2x+2⋮d\)

    \(x^2-2x+2⋮d\)

=.> \(\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2-2x+2\right)=4x⋮d\)

Vì x lẻ => d lẻ 

=> \(x⋮d\)

=> \(2⋮d\Rightarrow d=1\)

Do đó: \(\left(2x^2+2x+2;2x^2-2x+2\right)=1\)(ii)

Từ (i) và (ii) có thể đặt: với \(ab=y^2\)sao cho:

 \(x^2+2x+2=pa^2;\)

\(x^2-2x+2=b^2\)<=> \(\left(x-1\right)^2+1=b^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1-b\right)\left(x-1+b\right)=-1\)

<=> x=b=1 hoặc x=1; b=-1

Với x=1 => a^2.p=5 => p=5  

\(\frac{x-2}{27}+\frac{x-3}{26}+\frac{x-4}{25}+\frac{x-5}{24}+\frac{x-44}{5}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2}{27}-1\right)+\left(\frac{x-3}{26}-1\right)+\left(\frac{x-4}{25}-1\right)+\left(\frac{x-5}{24}-1\right)\)\(+\left(\frac{x-44}{5}+3\right)=1-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-29}{27}+\frac{x-29}{26}+\frac{x-29}{25}+\frac{x-29}{24}\)\(+\frac{x-29}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-29\right)\left(\frac{1}{27}+\frac{1}{26}+\frac{1}{25}+\frac{1}{24}+\frac{1}{5}\right)=0\)

Mà \(\frac{1}{27}+\frac{1}{26}+\frac{1}{25}+\frac{1}{24}+\frac{1}{5}\ne0\)

=> x - 29 = 0

=> x = 29.

=>3/6+4/6<x<16/4-5/4                 K NHA MOI NGUOI 

=>7/6<x<11/4

=>28/24<x<66/24

=>x=48/24=2 

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\Rightarrow\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{6}=\frac{z-3}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{6}=\frac{z-3}{4}=\frac{\left(2x-2\right)+\left(3y-6\right)-\left(z-3\right)}{4+6-4}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{4+6-4}\)

\(=\frac{\left(2x+3y-z\right)+\left(-2+6+3\right)}{6}=\frac{50+\left(-5\right)}{6}=\frac{45}{6}=7,5\)

\(\frac{x-1}{2}=7,5\Rightarrow x-1=15\Rightarrow x=16\)

\(\frac{y-2}{3}=7,5\Rightarrow y-2=24,5\Rightarrow y=20,5\)

\(\frac{z-3}{4}=7,5\Rightarrow z-3=30\Rightarrow z=33\)

khong biet

x=4, y=6,z=8

Trần Thảo Trang

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có: 
\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{18}{9}=2\)

\(\frac{x}{2}=2\Rightarrow x=2.2=4\)

\(\frac{y}{3}=2\Rightarrow y=2.3=6\)

\(\frac{z}{4}=2\Rightarrow z=2.4=8\)

Vậy x = 4, y = 6 và z = 8 

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\left(x< y\right)\)

Đặt \(x=\frac{1}{2}y\)

Ta có: x là 1 phần , y là 2 phần

Ta có sơ đồ:

x:    I--------------------I                                  Vì   \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\Rightarrow x+y=8\)

y:    I--------------------I--------------------I                             

  Áp dụng tổng số phần bằng nhau đã học ở lớp 5:

1 + 2 = 3 phần

 Suy ra x = 8 : 3 x 1 = 2.6

Suy ra y = 8 - 2.6 = 5.4

    Quy ra phần số: \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2.6}=\frac{5}{13}\)( 1 : 2,6 = 5/13)

Quy ra phân số: \(\frac{1}{y}=\frac{1}{5.4}=\frac{5}{27}\)( 1 : 5,4 = 5/27)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=13\\y=27\end{cases}}\) (vì x và y đều là mẫu của phân số mà ta đã quy ra)

đúng rồi 100%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x=1/-4

y=1/4

áp dụngBĐT cô si ta có

\(\frac{x^2}{y+1}\)+\(\frac{y+1}{4}\)\(\ge\)x

\(\frac{y^2}{z+1}\)+\(\frac{z+1}{4}\)\(\ge\)y

\(\frac{z^2}{x+1}\)+\(\frac{x+1}{4}\)\(\ge\)z

khi đó VT\(\ge\)x+y+z-\(\frac{x+y+z+3}{4}\)=\(\frac{3\left(x+y+z\right)-3}{4}\)

áp dụng BĐT cô si

x+y+z\(\ge\)\(3\sqrt[3]{xyz}\)=3

do đó VT\(\ge\)\(\frac{6}{4}\)=\(\frac{3}{2}\)  (đpcm)