Anh để ý trên mục Toán lớp 8 có một câu hỏi được nhiều người đăng cùng lúc, nên anh xin trả lời câu hỏi đó.
Đề: Cho \(1\le a,b,c\le3\) và \(a+b+c=6\) . Tìm \(max\) của biểu thức \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\).
Trong đó kí hiệu \(f\left(x,y,z\right)\) là đa thức khi thay \(a=x,b=y,c=z\), tức là \(f\left(x,y,z\right)=x^2+y^2+z^2\).
-----
Nhận xét: Trong 3 số \(a,b,c\) phải có số lớn hơn bằng 2. Không mất tính tổng quát gọi số đó là \(a\).
Khi đó \(b+c-1\le5-a=3\)
Ta có \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\) và \(f\left(a,b+c-1,1\right)=a^2+\left(b+c-1\right)^2+1\).
Ta sẽ CM \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).
Biến đổi tương đương ta được \(b^2+c^2\le b^2+c^2+2bc-2b-2c+2\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\).
Điều này đúng. Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).
Nhận thấy do \(a+b+c=6\) nên \(f\left(a,b+c-1,1\right)=f\left(a,5-a,1\right)=a^2+\left(5-a\right)^2+1=2\left(a^2-5a+13\right)\).
Ta sẽ tìm max của biểu thức này. Giá trị max đó là \(14\), xảy ra khi \(a=2\)
Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le14\). Đẳng thức xảy ra tại \(a=2,b=3,c=1\).
------
Ý tưởng tương tự trên sẽ giúp các em làm được bài toán sau:
Cho \(0\le a,b,c\le2\) thoả \(a+b+c=3\). Tìm min của biểu thức \(ab+bc+ca\).
