Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác. CM:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 1 :
CMR :\(4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9\)
Giúp mk nha
cho a, b, c>0. CMR a\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
CM \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Cm bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
với a ;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giac
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự cộng lại...
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác .
1.CMR : abc \(\ge\)( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
2. \(\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a}\) cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
1. đặt b + c - a = x, a + c - b = y , a + b - c = z thì x,y,z > 0
theo bất đẳng thức ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) \(\ge\)8xyz ( tự chứng minh ) , ta có :
2a . 2b . 2c \(\ge\)8 ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
\(\Rightarrow\)abc \(\ge\)( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
Ta có a + b > c, b + c > a, a + c > b
Xét \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c+b}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
tương tự : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)
vậy ...
Cách khác của câu 1.
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}a\ge\left|b-c\right|\\b\ge\left|a-c\right|\\c\ge\left|a-b\right|\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge\left(b-c\right)^2\\b\ge\left(a-c\right)^2\\c\ge\left(a-b\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge a^2-\left(b-c\right)^2\left(1\right)\\b^2\ge b^2-\left(a-c\right)^2\left(2\right)\\c^2\ge c^2-\left(a-b\right)^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế của (1);(2);(3) ta có:
\(a^2b^2c^2\ge\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow a^2b^2c^2\ge\left(b+c-a\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(a+b-c\right)^2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và a+b+c=3.CMR:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Bài này là bài chốt trong đề thi hsg toán 9 cấp huyện năm nay của đức thọ đó!
bạn vào Thư viện đề thi THCS Hoàng Xuân Hãn rồi bấm vào mục ở dưới dưới ak tên mục là
Đáp án đề thi hsg toán 9 huyện Đức Thọ năm học 2018-2019 Đây là bài cuối của đề ak!
mk gửi hình rồi đó! bạn có thấy nó hiện ra chưa?
Cho độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng :\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{c+a-b+a+b-c}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{2}{b}\)
Cộng lại theo vế rồi chia cho 2, ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(BĐT Cauchy dạng cộng mẫu)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)và \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Sa
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác và x,y,z lấn lượt là độ dài các đường phân giác của tam giác đó:
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
hình bạn tự vẽ
Tam giác ABC tương ứng với a,b,c độ dài các cạnh
từ B dựng đường thẳng song song với tia phân giác AD cắt đường thẳng CA tại E,ta có AE = AB = c
Do AD//BE nên \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow x=\frac{b}{b+c}.BE\)
Trong tam giác ABE ta có : EB < AB + AE = 2c
vì thế \(x< \frac{2bc}{b+c}\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\); \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Cộng lại ta được đpcm
GỌI A, B, C LÀ ĐỘ DÀI 3 CẠNH CỦA 1 TAM GIÁC. CM: \(\frac{1}{A+B-C}+\frac{1}{B+C-A}+\frac{1}{C+A-B}\ge\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ta có:
\(\dfrac{1}{A+B-C}+\dfrac{1}{B+C-A}\ge\dfrac{4}{A+B-C+B+C-A}=\dfrac{4}{2B}=\dfrac{2}{B}\)
\(\dfrac{1}{B+C-A}+\dfrac{1}{C+A-B}\ge\dfrac{4}{B+C-A+C+A-B}=\dfrac{4}{2C}=\dfrac{2}{C}\)
\(\dfrac{1}{C+A-B}+\dfrac{1}{A+B-C}\ge\dfrac{4}{C+A-B+A+B-C}=\dfrac{4}{2A}=\dfrac{2}{A}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2VT\ge\dfrac{2}{A}+\dfrac{2}{B}+\dfrac{2}{C}=2\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}+\dfrac{1}{C}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+3\)