làm xong rồi thì please_sign

áp dụng bđt huyền thoại \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\) =\(\frac{a+b+c}{abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\) 

mà \(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (tụ cm nhé )

\(\Rightarrow\ge\frac{\left(a+b+c^2\right)}{\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3}}=\frac{3\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ac\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

m,à \(\left(ab+bc+ac\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac\right)^3}{3^3}\)

   =\(\frac{\left(\left(a+b+c\right)^2\right)^3}{27}=27\)

\(\Rightarrow vt\ge\frac{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27}=a^2+b^2+c^2\)

dau = khi a=b=c=1

hay quá bạn ơi

Bài 1:

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.

Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!

Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!

 (cần thì ib t gửi link cho)

Chú thích cho you hiểu: Ở bài 1:

Chúng ta biết rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{ab}{a+b}\) thế thôi!

\(VT=\frac{\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2abc}+\Sigma\frac{a^2}{a^2\left(b+c\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\Sigma a^2\left(b+c\right)+2abc}=\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Tiện tay chém trước vài bài dễ.

Bài 1:

\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)

Bài 2:

1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn

2) 

c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1

2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)

Có đpcm

Ồ bài 2 a mới sửa đề ak:)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)

Ta chứng minh:

\(\frac{1}{1-3a}\ge256a^3\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-1\right)^2\left(48x^2+8x+1\right)\ge0\)đúng

\(\Rightarrow VT\ge256a^3+256b^3+256c^3=\frac{256.3}{64}=12\) 

Ô...mai..gót

Thế này ko ai giải cho bn đâu vì họ ko dại gì làm tất cả chỉ để lấy cái T.I.C.K

Hãy đăng từng câu một 

Ai đồng quan điểm

Bạn lấy mấy bài này từ mấy cái đề học sinh giỏi vậy ?

Nhưng ai biết câu nào thì làm câu đấy mình đâu bắt các bạn làm hết đâu

Ta có : 

\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-\frac{2}{ab}-\frac{2}{bc}-\frac{2}{ca}}\)

                                   \(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)

                                   \(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right]\left(ĐPCM\right)\)

[ ] là giá trị tuyệt đối đấy.

ủng hộ nhé bạn!

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu = khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)

ta có: a² +b² +c² =\(\frac{a^2}{1}\) +\(\frac{b^2}{1}\) +\(\frac{c^2}{1}\)

áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có :

\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\) ≥\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}\) =\(\frac{1}{3}\)

đấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)