Question

Cho a + b +c = 1. Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ \(\frac{1}{3}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu = khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)

Answer 2

ta có: a² +b² +c² =\(\frac{a^2}{1}\) +\(\frac{b^2}{1}\) +\(\frac{c^2}{1}\)

áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có :

\(\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\) ≥\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}\) =\(\frac{1}{3}\)

đấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

Answer 3

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)