Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vì x, y, z là các số nguyên dương nên x, y, z \(\ge\) 1

Ta có :

x² + y³ + z⁴ = 90

=> z⁴ < 90

Ta thấy rằng\(\left\{{}\begin{matrix}4^4=256>90\\3^4=81< 90\end{matrix}\right.\) nên z không thể lớn hơn 4 được

Hay z nhận các giá trị là 1, 2, 3

Với z = 3 thì

x² + y³ = 90 - 3⁴ = 9

Tương tự như trên ta cũng thấy được : ý chí có thể nhận các giá trị 1, 2

Thế vô lần lượt tìm được : y = 2 , x = 1

Xét lần lượt các trường hợp của z sẽ tìm được các nghiệm còn lại

Các bộ số cần tìm là : (x, y, z) = (1, 2, 3) ; (5, 4, 1) ; (9, 2, 1)

Mk chỉ hướng dẫn bn cách làm thui nhé

em mới lên lớp 6 ạ !!! Nên ko pít j nhìu mong các a cj giúp đỡ !!! Ai đi qua k e 1 cái là động viên tinh thần học tập của e rùi ạ !!! e cảm ơn các a cj nhìu lém !!! chúc tất cả các bạn và các a cj học tốt ạ !!! NHỚ K E NHA M.N

Mk ko biet nha bn neu muon k thi k cho mk mk k lai ma phai gui tin nhan cho mk mk moi biet ai k mk k lai nha