a)

\(n+3⋮n-1\Leftrightarrow\left(n-1\right)+4⋮n-1\)

\(\Rightarrow4⋮n-1\) (vì n-1 chia hết cho n-1)

\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)

\(n-1=1\Rightarrow n=2\)

\(n-1=2\Rightarrow n=3\)

\(n-1=4\Rightarrow n=5\)

Vậy \(n\in\left\{2;3;5\right\}\)

Đặt \(10^k-1=19n\left(n\in Nsao\right)\)

\(\Rightarrow10^k=19n+1\Rightarrow\left(10^k\right)^3=\left(19n+1\right)^3\Rightarrow10^{3k}-1=\left(19n\right)^3+38n\)

Ta thấy\(\left(19n\right)^3⋮19;38n⋮19\Rightarrow\left(19n\right)^3+38n⋮19\)

Hay\(10^{3k}-1⋮19\)

\(10^{2k}-1=10^{2k}-10^k+10^k-1=\left(10^k-1\right)\left(10^k+1\right)⋮19\)

\(10^{3k}-1=10^{3k}-10^k+10^k-1=10^k\left(10^{2k}-1\right)+10^k-1⋮19\)

Bài giải

Ta có 3k + 4 \(⋮\)k - 1

=> 3(k - 1) + 7 \(⋮\)k - 1

Vì 3(k - 1) \(⋮\)k - 1

Nên 7 \(⋮\)k - 1

Vì 7 \(⋮\)k - 1

Suy ra k - 1 \(\in\)Ư(7)

Ư(7) = {1; 7}

Suy ra k - 1 = 1 hay 7

           k      = 1 + 1 hay 7 + 1

           k      = 2 hay 8

Vậy k = 2 hay k = 8

cảm ơn bn

\(\Rightarrow\left(n^2+n+2n+2-1\right)⋮\left(n+1\right)\\ \Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)-1\right]⋮\left(n+1\right)\\ \Rightarrow n+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\\ \Rightarrow n=0\)

câu 1:ta có số 975 chia hết cho 65 và lớn nhất 

ta có:975/65=15

lại có thương=số dư suy ra số dư =15

suy ra số cần tìm là 975+15=990

Vậy số cần tìm là 990

câu 2 =4

câu 3 = 3

tick đi mình cho lời giải chi tiết

n^2 - 1 chia hết cho 2 và 5 thì phải có tận cùng là 0

=> n^2 có tận cùng là 1 

mà n^2 là số chính phương 

=> n^2 thuộc {81;121;...}

mà đề bài yêu cầu tìm n nhỏ nhất nên n^2 phải nhỏ nhất = 81

=> n =9

Vậy n = 9 nhỏ nhất để n^2 - 1 chia hết cho 2 và 5

Dùng phép quy nạp toán học (lớp 6)

Với k = 0: \(2^{3k+1}+5=2^1+5=7⋮7\Rightarrow\)Mệnh đề đúng với k = 1(1)

Giả sử điều đó đúng với k = t tức là \(2^{3t+1}+5⋮7\)(đây là giả thiết qui nạp)  (2)

Ta sẽ c/m điều đó cũng đúng với k = t + 1.Tức là c/m:

\(2^{3\left(t+1\right)+1}+5⋮7\)hay \(2^{3t+4}+5⋮7\)

Ta có: \(2^{3t+4}+5=2^3\left(2^{3t+1}+5\right)-35\)

Dễ dàng thấy: \(2^3\left(2^{3t+1}+5\right)⋮7\) (do giả thiết qui nạp)

\(35⋮7\) (hiển nhiên)

Suy ra \(2^3\left(2^{3t+1}+5\right)-35⋮7\)hay \(2^{3t+4}+5⋮7\) hay \(2^{3\left(t+1\right)+1}+5⋮7\) (3)

Từ (1);(2) và (3) theo nguyên lí quy nạp toán học,ta có điều phải c/m

\(2^{3k+1}+5=2^{3k}.2+5=8^k.2+5\)

Ta có: 8 chia 7 dư 1 => \(8^k\)chia 7 dư 1 (vì (7,8)=1)

Đặt: \(8^k\)=7t+1

=> \(2^{3k+1}+5=\)(7t+1).2+5=7t.2+7 chia hết cho 7