Bài 1:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố

2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố

3 + 4 = 7 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn

Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.

Bài 2:

Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3

p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3

Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3

Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3

Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.

Bài 3:

a) Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

 Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố

p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) không là số nguyên tố

p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p > 3 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất

a) Với p = 2 thì p + 4; p + 8 không là số nguyên tố.

Với p = 3 thì p + 4; p + 8 là các số nguyên tố.

Nếu p > 3 mà p là số nguyên tố => p = 3k +1 hoặc p = 3k +2 (k ϵ N*)

Ta thấy nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + l + 8 = 3k + 9=> p chia hết cho 3 (loại).

Ta thấy nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 => p chia hết cho 3 (loại).

Vậy ta đã chứng minh được p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Tương tự 21A.

p = 3 là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với p=2 ta được p+4=6(hợp số)(Loại)

Với p=3 ta được p+4=7(số nguyên tố),p+8=11(snt)(TM) 

Làm nốt xét p khác 3 nhé!

A ) nếu p=2 thì p+4=2+4=6(loại)

nếu p=3 thì p+4=3+4=7và p+10=3+10=13(thỏa mãn)

nếu p>3 thì ta có dạng p=3k+1 và p=3k+2

trường hợp 1: p=3k+2 thì p+10=3k+2+10=3k+12 chia hết cho 3 (loại)

trường hợp 2: p=3k+1 thì p+4=3k+1+4=3k+5

mà 3k+5=3k+3+2=3(k+1)+2 \(\Rightarrow\)p+10=3(k+1)+2+10=3(k+1)+12  (loại)

                 vậy p=3 thì p+10,p+4 là số nguyên tố

B)nếu q=2 thì q+2=2+2=4 (loại)

nếu q=3 thì q+2=3+2=5 và q+8=3+8=11 ( thỏa mãn)

nếu q>3 ta có dạng q=3k+1 và q=3k+2

trường hợp 1: q=3k+1  thì q+8=3k +1 +8=3k + 9 chia hết cho 3 ( loại)

trường hợp 2: q=3k +2 thì q+8=3k+2+8 =3k+10=3k+9+1=3(k+3)+1

\(\Rightarrow\)q+8=3(k+3)+1+8=3(k+3)+9 chia hết cho 3 ( loại)

            vậy q=3 thì q+2,q+8 là số nguyên tố

a, Đề phải là cm p^2-1 ko nguyên tố

Vì p nguyên tố > 3 => p ko chia hết cho 3 => p^2:3 dư 1 => p^2-1 chia hết cho 3

Mà p nguyên tố > 3 => p^2-1 > 3

=> p^2-1 là hợp số

Trường hợp 1: p=3

=>p²+8=9+8=17(nhận)

Trường hợp 2: p=3k+1

\(A=p^2+8=\left(3k+1\right)^2+8=9k^2+6k+9\)(loại)

Trường hợp 3: p=3k+2

\(A=\left(3k+2\right)^2+8=9k^2+12k+4+8=9k^2+12k+12\)(loại)

Xét `p=2 => p^2 + 8 = 2^2 + 8 = 12` ( là hợp số )

`=> p \ne 2`

Xét `p=3 => 3^2 + 8 = 9+8=17` ( là số nguyên tố )`

`=> p=3`

Xét `p>3`

`=> p=3k+1` hoặc `p+3k+2` ( `k in NN )`

TH1 `:` `p=3k+1`

`=> p^2 + 8 = ( 3k+1)^2 + 8 = 9k^2 + 6x + 1 + 8 = 9k^2 + 6k + 9` \(\equiv\) `0` 

\(\pmod{3}\) ( là hợp số )

TH2 `:` `p=3k+2`

`=> p^2 + 8 = ( 3k+2)^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 4 + 8 = 9k^2 + 12k + 12` \(\equiv\) `0`

\(\pmod{3}\) ( là hợp số )

Vậy `p=3` 

xét  p = 2 => p + 8 = 2 + 8 = 10 (loại)

xét p = 3 => p + 8 = 3 + 8 = 11 (tm) 

                    p + 16 = 3 + 16 = 19 (tm)

xét p là snt và p > 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

với p = 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) (loại)

với p = 3k + 2 => p + 16 = 3k + 2 + 16 = 3k + 18 = 3(k + 6) (loại)

vậy p = 3

refer

xét  p = 2 => p + 8 = 2 + 8 = 10 (loại)

xét p = 3 => p + 8 = 3 + 8 = 11 (tm) 

                    p + 16 = 3 + 16 = 19 (tm)

xét p là snt và p > 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

với p = 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) (loại)

với p = 3k + 2 => p + 16 = 3k + 2 + 16 = 3k + 18 = 3(k + 6) (loại)

vậy p = 3

refer

xét  p = 2 => p + 8 = 2 + 8 = 10 (loại)

xét p = 3 => p + 8 = 3 + 8 = 11 (tm) 

                    p + 16 = 3 + 16 = 19 (tm)

xét p là snt và p > 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

với p = 3k + 1 => p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) (loại)

với p = 3k + 2 => p + 16 = 3k + 2 + 16 = 3k + 18 = 3(k + 6) (loại)

vậy p = 3

Bài 1 :+ Nếu p = 2 => p + 2 = 4 P (loại)
+ Nếu p = 3 => p + 2 = 5 P , p + 4 = 7 P
+ Nếu p > 3 => vì p nguyên tố nên p 3 => p = 3k + 1; p = 3k + 2(k N)
Trường hợp: p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) 3
mà p > 3 nên p là hợp số
Trường hợp: p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) 3
mà p > 3 nên p là hợp số
=>không có giá trị nguyên tố p lơn hơn 3 nào thoả mãn.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm

1) p=3

p=3

p=3

p=5