Cho đường tròn tâm O và dây AB, điểm M di động trên đường tròn. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D. 

a) Chứng minh đường thẳng MD luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn.

b) CMR: \(\frac{MA^2}{MB^2}=\frac{AH.AD}{BH.BD}\)

Cho đường tròn tâm O ( không phải là đường kính). Điểm M di động trên cung lớn AB ( M không trùng A, B). Gọi H là hình chiếu của M lên AB. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên MA, MB. Đường thẳng qua M vuông góc với EF cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua một điểm cố định
b) Gọi Q, P lần lượt là hình chiếu của D lên MA, MB. Chứng minh DP.EF=PQ.HE

 

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tiếp tuyến Ax (A là tiếp điểm, Ax nằm ở nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bò là AB). Trên đoạn AB lấy điểm M (M khác A, M khác B), đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn tâm O tại C, tia BC cắt Ax tại D. Gọi N là trung điểm của AD. Gọi H là giao điểm của ON và AC. Kẻ HE vuông góc với AN (E thuộc AN). Đường tròn đường kính NC cắt EC tại F. Chứng minh NF luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di chuyển trên AB.

Bài 28Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định ( AB không phải là đường kính của đường tròn). Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB ( M ≠ A và M ≠ B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NA, cắt đường thẳng NA tại Q.

a)     Chứng minh 4 điểm A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b)    Chứng minh MN là tia phân giác của góc BMQ

c)     Đường thẳng QH cắt NB tại P. Chứng minh \(\Delta QMA\sim\Delta PMB\)

d)Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất

Bài 4: Cho đường tròn (O) dây BC cố định không đi qua tâm O. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB<AC. Kẻ đường phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại điểm thứ 2 M. Từ M kẻ MD vuông góc đường thẳng AB(D thuộc AB), ME vuông góc đường thẳng AC (E thuộc AC), MI vuông góc đường thẳng BC( I thuộc BC). Gọi Q là giao điểm của AM và BC. C/m rằng 
1) tứ giác MIEC nội tiếp 
2) MC bình= MQ.MA 

3)góc ECM = góc DIM và 3 điểm D,I,E thảng hàng