a)

▲BDE có

N là trung điểm DE (gt)

I là trung điểm BE (gt)

⇒NI là đường trung bình của tam giác BDE

⇒NI = 1/2 BD ⁽¹⁾

▲DEC có

K là trung điểm CD (gt)

N là trung điểm DE (gt)

⇒ NK là đường trung bình

⇒ NK = 1/2 CE ⁽²⁾

▲BEC có

I là trung điểm BE (gt)

Mlà trung điểm BC (gt)

⇒MI là đường trung bình

⇒ MI = 1/2 CE ⁽³⁾ ,MI//CE

▲BDC có

K là trung điểm CD (gt)

M là trung điểm BC (gt)

⇒ MK là đường trung bình

⇒ MK = 1/2 BD ⁽⁴⁾ , MK//BD

Có (1)(2)(3)và (4) với BD=CE (gt)

⇒ NI=NK=MK=MI

⇒ MINK là hình thoi

b)

Có MK//BD (cmt)

⇒ \(\widehat {KMN}=\widehat {BHM} \) ( 2 góc SLT)

Có MI//CE (cmt)

⇒ \(\widehat {IMN}=\widehat {CGM}\) ( 2 góc SLT)

Có \(\widehat {KMN}=\widehat {IMN}\) ( MINK là hình thoi)

⇒ \(\widehat {BHM}=\widehat {CGM}\)

▲HAG có

\(\widehat {HAG}+\widehat {AHG}+\widehat {AGH} =180 độ\)

mà \(\widehat {CGM}=\widehat {AGH}\)

⇒\(\widehat {HAG}+2\widehat {CGM}\) = 180 độ

⇒ \(2\widehat {CGM}= 180 độ - \widehat {HAG}\)

Có \(\widehat {HAG}+\widehat {BAC}\) = 180 độ (2 góc kề bù)

⇒\(\widehat {BAC}= 180 độ -\widehat {HAG}\)

⇒ \(2\widehat {CGM} = \widehat {BAC}\)

mà At là tia phân giác góc BAC

⇒ \(2\widehat {CGM} = 2\widehat {CAt}\)

⇒ \(\widehat {CGM } = \widehat {CAt}\)

⇒ GM//At ( 2 góc Đồng vị)

Có MN⊥IK ( 2 đường chéo của hình thoi MINK) hay GM ⊥IK

⇒ At⊥IK

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACE có
góc ADB = góc AEC = 90 độ
AB=AC
góc A: chung
=> tam giác ABD = tam giác ACE (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BD=CE và AD=AE
b) Vì AB=AC và AE=AD => AB-AE=AC-AD => BE=CD
Xét tam giác OEB và tam giác ODC có
góc OEB = góc ODC = 90 độ
BE=CD
góc BOE = góc COD (đối đỉnh)
=> tam giác OEB = tam giác ODC => OB=OC
c) Xét tam giác AOB và tam giác AOC có
AB=AC
OB=OC
AO: cạnh chung
=> tam giác AOB = tam giác AOC (c.c.c)
=> góc OAB=góc OAC
=> AO la tia phân giác góc BAC

Hình:

Giải:

Theo hình vẽ và dữ kiện đề bài, ta liệt kê các góc nhọn:

\(\widehat{ABC};\widehat{ACB};\widehat{BHF};\widehat{FHA};\widehat{FAH};\widehat{AHE};\widehat{HAE};\widehat{EHC}\)

=> Có 8 góc nhọn

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FHE}=90^0\\\widehat{HEA}=90^0\\\widehat{FAE}=90^0\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)

Suy ra tứ giác AFHE là hình chữ nhật

Từ đó, suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}FH//AE\left(FH//AC\right)\\HE//AF\left(HE//AB\right)\end{matrix}\right.\)

* Xét trường hợp FH // AE ( FH // AC), có:

- \(\widehat{FHA}=\widehat{HAE}\) (Hai góc so le trong)

- \(\widehat{BHF}=\widehat{ACB}\) (Hai góc đồng vị)

* Xét trường hợp HE // AF ( HE // AB), có:

- \(\widehat{AHE}=\widehat{FAH}\) (Hai góc so le trong)

- \(\widehat{EHC}=\widehat{ABC}\) (Hai góc đồng vị)

Ta thấy có đủ 8 góc nhọn và có 4 cặp góc nhọn bằng nhau

Vậy ...