Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2}{3}a^2+\frac{3}{2}b^2\ge2ab\)

\(\frac{b^2}{2}+2c^2\ge2bc\)

\(3c^2+\frac{a^2}{3}\ge2ac\)

\(\Rightarrow2A\le a^2+2b^2+5c^2=22\Rightarrow A\le11\)

\("="\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\)

Lời giải:
Bài này bạn chỉ cần ứng dụng phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM_GM là ổn.

Thật vậy. Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{3}+3c^2\geq 2\sqrt{a^2c^2}=2|ac|\geq 2ac\)

\(\frac{2a^2}{3}+\frac{3b^2}{2}\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab\)

\(\frac{b^2}{2}+2c^2\geq 2\sqrt{b^2c^2}=2|bc|\geq 2bc\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\(\Rightarrow a^2+2b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow 22\geq 2(ab+bc+ac)\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq 11\)

Vậy \(A_{\max}=11\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(3,2,1)\)

\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)

\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)

A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1​+bb−1​+cc−4​=1−a1​+1−b1​+1−c4​

=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1​+b1​+c4​)≤3−a+b+c(1+1+2)2​=3−16=−13có GTNN là - 13

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41​;c=21​
 

Vì a/-4=b/5 => a^2/16 =2b^2/50

Áp dụng t/c dãy các tỉ số bang nhau voi a^2+2b^2=16,5 ta có:

a^2/16=2b^2/50=a^2+2b^2/16+50=16,5/66=0,25

-> a^2/16=0,25 => a^2=0,25.16=4=> a =2 hoặc a=-2

*Trường hợp a=2 ta có : 2/-4=b/5 =>-1/2=b/5 =>b=(-1).5/2= -5/2=-2,5

*Trường hợp a= -2 ta có : -2/-4=b/5 => 1/2=b/5 =>b=1.5/2=5/2=2,5

Vậy GTLN của a+b=(-2,5)+2,5=0

Mình không chắc lắm

ai giúp với]

a xin lỗi , mk nhầm chút : Khi giai truong hợp xong thì làm như sau :

Vậy a=2;b=-2,5 hoac a=-2;b=2,5

GT của a+b thứ nhất : a+b=2+(-2,5)=-0,5

GT của a+b thứ hai : a+b=(-2)+2,5=0,5 

Vậy gtln của a+b là 0,5

ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho

gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

=> Thay vào thì     \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)

\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)

Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào

=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)

=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\) 

Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)

=>     \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)

=>     \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)

Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)

Có:    \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)

Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)

Do a,b > 0 => \(1-\frac{1}{a}\) và \(1-\frac{1}{b}\)luôn dương

Áp dụng bđt : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

P = \(\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}\right)^2=\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (a,b > 0) (1)

CM bđt đúng: Từ (1) <=> \(\left(\frac{x+y}{xy}\right)\left(x+y\right)\ge4\)

<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Khi đó: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=\frac{4}{4}=1\)

=> \(2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2-1=1\) => \(\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\le\frac{1}{4}.1^2=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2

Vậy MaxP = 1/4 khi a =b = 2