cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau
cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau
\(abc\ne0\)
\(abc\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)=abc\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2=b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-b^2c+ab^2-a^2b+bc^2-ac^2=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ac+bc-ab-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Bài 1: Cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\)
Chứng minh rằng: Với 3 số a,b,c có tồn tại 2 số bằng nhau.
a/b+b/c+c/a=b/a+c/b+a/c
<=> a/b-b/a+b/c-c/b+c/a-a/c=0
<=> a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0
<=> ac(a-c)+bc(c-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a+a-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a)+bc(a-b)+ab(b-a)=0
<=> (a-c)(a-b)c+(a-b)(c-a)b=0
<=> (a-b)(c-a)(b-c)=0
<=> a=b hay c=a hay b=c
Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số =nhau
Cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh luôn tồn tại hai số bằng nhau
Lời giải:
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2=a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)-bc[(b-a)+(a-c)]+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(ab-bc)+(a-c)(ac-bc)=0\)
\(\Leftrightarrow b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(a-c)(b-c)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)
Do đó luôn tồn tại hai số bằng nhau (đpcm)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{b^2a}{abc}+\dfrac{c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c}{abc}+\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c+a^2b+c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+a^2b+c^2a\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-a^2b-c^2a=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2c-c^2a\right)+\left(b^2a-a^2b\right)+\left(c^2b-b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b+a-a\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=b\\a=c\\a=b\end{matrix}\right.\)(Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau)
cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn abc=1 và
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}+\frac{a^3}{c}\)
Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c luôn tồn tại một số là lập phương của 2 số còn lại
Cho a.b.c = 1
và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\)
Chứng minh rằng: Trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 1
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ba+ac+ab}{abc}\)
mà abc = 1
\(\Rightarrow a+b+c=ba+ac+ab\)
Lại có: (a-1).(b-1).(c-1)
= (ab - a - b + 1) . ( c-1)
= abc - ac - bc + c - ab + a + b - 1
= ( abc - 1) +( a+ b + c ) - ( ac + bc + ab)
= ( 1 - 1) + ( a + b + c) - ( a + b + c)
= 0
=> (a-1).(b-1).(c-1) = 0
=> trong 3 số a;b;c tồn tại một số bằng 1
Cho a,b,c trong đó không có hai số nào là số đối nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cho a, b, c trong đó không có hai số nào là số đối của nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
1) Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
2) Cho biết (x-1).f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm.
3) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: \(x-3y+2xy=4\)
4) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương.
5) Cho 2016 số nguyên dương a1, a2, a3, ............., a2016 thỏa mãn:
\(\frac{1}{^a1}+\frac{1}{^a2}+\frac{1}{^a3}+...+\frac{1}{^a2016}=300\)
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau.
Áp dụng ta đc:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=6\)
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
Xét \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào P ta được P=6
Xét \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
Thay vào P ta được P= -3
Vậy P có 2 gtri là ...........
Với x=4
\(\Rightarrow-5.f\left(-4\right)=0.f\left(4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(-4\right)=0\)
Vậy x=4 là nghiệm của đt
Với x=1
\(\Rightarrow0.f\left(0\right)=4.f\left(9\right)\)
\(f\left(9\right)=0\)
Vậy x=9 là nghiệm của đt
Mình nghĩ m chỉ tìm được 2 nghiệm thôi bạn :V
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.