N, D, C thẳng hàng nhé, vẽ bị lệch.

a, Vì ABCD là hình vuông (GT)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BC=CD=DA\\\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=\widehat{DCB}=\widehat{ABC}=90^0\end{matrix}\right.\) (t/c hv)

Ta có: \(\widehat{ADN}+\widehat{ADC}=180^0\) (2 góc kề bù)

mà \(\widehat{ADC}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ \(\widehat{ADN}=90^0\)

Xét ΔABM và ΔADN có:

AB = AD (CMT)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ADN}\left(=90^0\right)\)

BM= DN (GT)

⇒ ΔABM = ΔADN (c.g.c)

⇒ AM = AN (2 cạnh tương ứng)

Xét hbh AMFN có:

AM = AN (CMT)

⇒ AMFN là hthoi (dhnb hthoi)

Vì ΔABM = ΔADN(CMT)

⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{A_2}+\widehat{BAM}=\widehat{DAB}=90^0\)

mà \(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\left(CMT\right)\)

⇒ \(\widehat{A_2}+\widehat{DAN}=90^0\)

hay \(\widehat{NAM}=90^0\)

Xét hbh AMFN có:

\(\widehat{NAM}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ AMFN là hcn (dhnb hcn)

Ta có: AMFN là hình thoi (CMT)

AMFN là hcn (CMT)

⇒ AMFN là hv (tứ giác vừa là hthoi vừa là hcn thì là hv)

b, Kẻ FH⊥CN (H ∈CN); FK ⊥ BM (K ∈ BM)

Vì FH⊥ CN (c/vẽ)

⇒ \(\widehat{FHC}=90^0\) (đ/n 2 đường thẳng vg góc)

Vì FK ⊥ BM (c/vẽ)

⇒ \(\widehat{FKC}=90^0\) (đ/n...)

Lại có: \(\widehat{BCD}+\widehat{DCK}=180^0\) (2 góc kề bù)

mà \(\widehat{BCD}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ \(\widehat{DCK}=90^0\)

Xét tứ giác CHFK có:

\(\widehat{DCK}=90^0\Rightarrow\widehat{HCK}=90^0\)

\(\widehat{FHC}=90^0\left(CMT\right)\)

\(\widehat{FKC}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ CHFK là hcn (dhnb hcn)

Vì AMFN là hv (CMT)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=FM\\AMF=90^0\end{matrix}\right.\) (t/c hv)

Ta có: \(\widehat{M_1}+\widehat{AMF}+\widehat{M_3}=180^0\) (các góc kề bù)

⇒ \(\widehat{M_1}+\widehat{M_3}=180^{0^{ }}-\widehat{AMF}=180^0-90^0=90^0\)(1)

Vì \(\widehat{FKM}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ ΔFMK vg tại K

nên \(\widehat{F_1}+\widehat{M_3}=90^0\)(2) (đ/lí tổng 2 gocvs nhọn trong tam giác vg)

Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{M_1}=\widehat{F_1}\)

Xét ΔABM có:

\(\widehat{ABM}=90^0\left(\widehat{ABC}=90^0\right)\)

⇒ ΔABM vg tại B

Xét Δvg ABM và Δvg MKF có:

\(\widehat{M_1}=\widehat{F_1}\left(CMT\right)\)

AM=FM (CMT)

⇒ Δvg ABM = Δvg MKF (ch-gn)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM=KF\\AB=MK\end{matrix}\right.\)(2 cạnh tương ứng)

mà AB = BC (CMT)

⇒ MK=BC (=AB)

⇒ MK + CM= BC + CM

hay KC = BM

mà BM = KF (CMT)

⇒ KC = KF (=BM)

Xét hcn CHFK có:

CK = KF (CMT)

⇒ CHFK là hv (dhnb hv)

⇒ CF là tia p/g của \(\widehat{HCK}\) (t/c hv)

mà \(\widehat{HCK}=90^0\)(góc của hv CHFK)

⇒ \(\widehat{HCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{HCK}=\dfrac{1}{2}90^{0^{ }}=45^0\)

Vì ABCD là hv (GT)

⇒ CA là tia p/g \(\widehat{BCD}\) (t/c hv)

\(\Rightarrow\widehat{C_2}=45^0\)

Ta có: \(\widehat{ACF}=\widehat{HCF}+\widehat{C_2}=45^0+45^{0^{ }}=90^0\)

c, Vì \(\widehat{ACF}=90^0\left(CMT\right)\)

⇒ ΔACF vg tại C

Xét Δvg ACF có:

CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OF (O là trung điểm AF)

⇒ \(CO=\dfrac{1}{2}AF\) (t/c đường trung tuyến trong tam giác vg)

mà \(OA=\dfrac{1}{2}AF\)(O là trung điểm AF)

⇒ CO = OA

Xét ΔABO và ΔCBO có:

OA = OC (CMT)

OB chung

BA=BC (CMT)

⇒ΔABO = ΔCBO (c.c.c)

⇒ \(\widehat{ABO}=\widehat{CBO}\) (2 góc tương ứng)

mà tia BO nằm giữa 2 tia BA và BC

⇒ BO là tia p/g \(\widehat{ABC}\) (3) (đ/n tia p/g 1 góc)

Vì ABCD là hv (GT)

⇒ BD là tia p/g \(\widehat{ABC}\) (t/c hv) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ BO trùng BD

⇒ 3 điểm O, B, D thẳng hàng

Xem hộ tớ nhầm chỗ nào k nhé

a, Theo giả thiết : AM//NF và AN//MF => ANFM là hình bình hành (1) 
mà AD = AB; DN = BM => tg vuông ADN = tg vuông ABM => AN = AM (2) 
và ^AND = ^AMB => AN _I_ AM (3) ( vì đã có DN _I_ BM) 
(1) và (2) => ANFM là hình thoi (4) 
(3) và (4) => ANFM là hình vuông 

b, Gọi P và giao điểm của AM và CN. Dễ thấy tg vuông ANP đồng dạng tg vuông CMP ( vì có ^P đối đỉnh ) => AP/CP = AN/CM = FM/CM (5) (vì FM = AN) 
Mặt khác : AP _I_ FM ( vì ANFM là hình vuông ) và CP _I_ CM => ^APC = ^FMC (6) ( góc có cạnh tương ứng vuông góc ) 
(5) và (6) => tg APC đồng dạng tam giác FMC => ^FCM = ^ACP = 45o = ^FCN => CF là tia phân giác của ^MCN và ^ACF = 90o 

c, Dễ thấy AO/AM = AD/AC = √2 (7) 
và vì ^OAM = ^DAC = 45o <=> ^OAM - ^DAM = ^DAC - ^DAM <=> ^OAD = ^MAC (8) 
(7) và (8) => tg AOD đồng dạng tg AMC => ^ADO = ^ACM = 135o => ^ODN = 45o = ^BDC => B; D; O thẳng hàng 
Dễ thấy BO//CF => BOFC là hình thang

a: Xét tứ giác ABNC có 

O là trung điểm của BC

O là trung điểm của AN

Do đó: ABNC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABNC là hình chữ nhật