N, D, C thẳng hàng nhé, vẽ bị lệch.
a, Vì ABCD là hình vuông (GT)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BC=CD=DA\\\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=\widehat{DCB}=\widehat{ABC}=90^0\end{matrix}\right.\) (t/c hv)
Ta có: \(\widehat{ADN}+\widehat{ADC}=180^0\) (2 góc kề bù)
mà \(\widehat{ADC}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ \(\widehat{ADN}=90^0\)
Xét ΔABM và ΔADN có:
AB = AD (CMT)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ADN}\left(=90^0\right)\)
BM= DN (GT)
⇒ ΔABM = ΔADN (c.g.c)
⇒ AM = AN (2 cạnh tương ứng)
Xét hbh AMFN có:
AM = AN (CMT)
⇒ AMFN là hthoi (dhnb hthoi)
Vì ΔABM = ΔADN(CMT)
⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{A_2}+\widehat{BAM}=\widehat{DAB}=90^0\)
mà \(\widehat{BAM}=\widehat{DAN}\left(CMT\right)\)
⇒ \(\widehat{A_2}+\widehat{DAN}=90^0\)
hay \(\widehat{NAM}=90^0\)
Xét hbh AMFN có:
\(\widehat{NAM}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ AMFN là hcn (dhnb hcn)
Ta có: AMFN là hình thoi (CMT)
AMFN là hcn (CMT)
⇒ AMFN là hv (tứ giác vừa là hthoi vừa là hcn thì là hv)
b, Kẻ FH⊥CN (H ∈CN); FK ⊥ BM (K ∈ BM)
Vì FH⊥ CN (c/vẽ)
⇒ \(\widehat{FHC}=90^0\) (đ/n 2 đường thẳng vg góc)
Vì FK ⊥ BM (c/vẽ)
⇒ \(\widehat{FKC}=90^0\) (đ/n...)
Lại có: \(\widehat{BCD}+\widehat{DCK}=180^0\) (2 góc kề bù)
mà \(\widehat{BCD}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ \(\widehat{DCK}=90^0\)
Xét tứ giác CHFK có:
\(\widehat{DCK}=90^0\Rightarrow\widehat{HCK}=90^0\)
\(\widehat{FHC}=90^0\left(CMT\right)\)
\(\widehat{FKC}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ CHFK là hcn (dhnb hcn)
Vì AMFN là hv (CMT)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=FM\\AMF=90^0\end{matrix}\right.\) (t/c hv)
Ta có: \(\widehat{M_1}+\widehat{AMF}+\widehat{M_3}=180^0\) (các góc kề bù)
⇒ \(\widehat{M_1}+\widehat{M_3}=180^{0^{ }}-\widehat{AMF}=180^0-90^0=90^0\)(1)
Vì \(\widehat{FKM}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ ΔFMK vg tại K
nên \(\widehat{F_1}+\widehat{M_3}=90^0\)(2) (đ/lí tổng 2 gocvs nhọn trong tam giác vg)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{M_1}=\widehat{F_1}\)
Xét ΔABM có:
\(\widehat{ABM}=90^0\left(\widehat{ABC}=90^0\right)\)
⇒ ΔABM vg tại B
Xét Δvg ABM và Δvg MKF có:
\(\widehat{M_1}=\widehat{F_1}\left(CMT\right)\)
AM=FM (CMT)
⇒ Δvg ABM = Δvg MKF (ch-gn)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BM=KF\\AB=MK\end{matrix}\right.\)(2 cạnh tương ứng)
mà AB = BC (CMT)
⇒ MK=BC (=AB)
⇒ MK + CM= BC + CM
hay KC = BM
mà BM = KF (CMT)
⇒ KC = KF (=BM)
Xét hcn CHFK có:
CK = KF (CMT)
⇒ CHFK là hv (dhnb hv)
⇒ CF là tia p/g của \(\widehat{HCK}\) (t/c hv)
mà \(\widehat{HCK}=90^0\)(góc của hv CHFK)
⇒ \(\widehat{HCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{HCK}=\dfrac{1}{2}90^{0^{ }}=45^0\)
Vì ABCD là hv (GT)
⇒ CA là tia p/g \(\widehat{BCD}\) (t/c hv)
\(\Rightarrow\widehat{C_2}=45^0\)
Ta có: \(\widehat{ACF}=\widehat{HCF}+\widehat{C_2}=45^0+45^{0^{ }}=90^0\)
c, Vì \(\widehat{ACF}=90^0\left(CMT\right)\)
⇒ ΔACF vg tại C
Xét Δvg ACF có:
CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OF (O là trung điểm AF)
⇒ \(CO=\dfrac{1}{2}AF\) (t/c đường trung tuyến trong tam giác vg)
mà \(OA=\dfrac{1}{2}AF\)(O là trung điểm AF)
⇒ CO = OA
Xét ΔABO và ΔCBO có:
OA = OC (CMT)
OB chung
BA=BC (CMT)
⇒ΔABO = ΔCBO (c.c.c)
⇒ \(\widehat{ABO}=\widehat{CBO}\) (2 góc tương ứng)
mà tia BO nằm giữa 2 tia BA và BC
⇒ BO là tia p/g \(\widehat{ABC}\) (3) (đ/n tia p/g 1 góc)
Vì ABCD là hv (GT)
⇒ BD là tia p/g \(\widehat{ABC}\) (t/c hv) (4)
Từ (3) và (4) ⇒ BO trùng BD
⇒ 3 điểm O, B, D thẳng hàng
Xem hộ tớ nhầm chỗ nào k nhé
