Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyen ngoc son

Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang.

b) Trên tia đối của tia NM lấy điểm E sao cho NE=NM. Chứng minh tứ giác MECB là hình bình hành.

c) Đường thẳng BE cắt đoạn thẳng NC tại F. Chứng minh AC=6NF.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để hình bình hành MECB là hình vuông.

Nguyễn Lê Phước Thịnh
8 tháng 1 2021 lúc 9:42

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét tứ giác MNCB có MN//BC(cmt)

nên MNCB là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)

b) Ta có: NM=NE(gt)

mà M,N,E thẳng hàng

nên N là trung điểm của ME

hay \(MN=\dfrac{ME}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ME=BC

Xét tứ giác MECB có 

ME//BC(MN//BC, E∈MN)

ME=BC(cmt)

Do đó: MECB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Ta có: ME//BC(MN//BC, E∈MN)

nên \(\widehat{NEF}=\widehat{CBF}\)(hai góc so le trong)

Xét ΔNEF và ΔCBF có 

\(\widehat{NEF}=\widehat{CBF}\)(cmt)

\(\widehat{EFN}=\widehat{BFC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNEF∼ΔCBF(g-g)

\(\dfrac{NE}{CB}=\dfrac{NF}{CF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\dfrac{NF}{CF}=\dfrac{1}{2}\)

hay \(CF=2\cdot NF\)

Ta có: CF+NF=NC(F nằm giữa N và C)

\(\Leftrightarrow2\cdot NF+NF=NC\)

\(\Leftrightarrow NC=2\cdot NF\)

mà \(AC=2\cdot NC\)(N là trung điểm của AC)

nên \(AC=6\cdot NF\)(đpcm)

d) Hình bình hành MECB trở thành hình vuông khi \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MBC}=90^0\\MB=BC\end{matrix}\right.\)

hay \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=90^0\\AB=2\cdot BC\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=90^0\\AB=2\cdot BC\end{matrix}\right.\) thì hình bình hành MECB trở thành hình vuông


Các câu hỏi tương tự
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết