BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được

Ta chứng minh BĐT bên phải:

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)

\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị

Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có: 

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Thật vậy  biến đổi tương đương ta đưa về \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)

BĐT này luôn đúng, thế thì

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}{2}\)

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\)

Như vậy ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\\\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\\\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\end{cases}}\)

\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=1\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1/3

Đặng Ngọc Quỳnh  không cần a,b rồi suy ra x,y, quá lòng vòng

Bạn tham khảo cách làm tại đây

 Câu hỏi của Pham Quoc Cuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta dễ dàng chứng minh BĐT

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

Chứng minh tương tự, cộng theo vế, ta có:

\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3

Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)

Tương tự và cộng lại

\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)

chứng minh kiểu j vậy bạn ? , Chỉ mình rõ hơn được không ? 

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2}.\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{\sqrt{y^2}.\sqrt{1-y^2}}\ge\dfrac{y^3}{\dfrac{y^2+1-y^2}{2}}=2y^3\)

\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{\sqrt{z^2}.\sqrt{1-z^2}}\ge\dfrac{z^3}{\dfrac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3\)

Cộng từng vế của các BĐT , ta được :

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\Sigma\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\Sigma\dfrac{x^2x}{x\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\Sigma\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}=\Sigma\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=\Sigma2x^3=2\)

Học toán 9 cùng thầy Hồng Trí Quang