Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Luyri Vũ

Cho \(x,y,z\ge0,x+y+z=2\)

CMR: \(x^2y+y^2z+z^2x\le x^3+y^3+z^3\le1+\dfrac{1}{2}\left(x^4+y^4+z^4\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 6 2021 lúc 8:56

BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được

Ta chứng minh BĐT bên phải:

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)

\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Dương Thị Thu Ngọc
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Linh Anh
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết