Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Thị Thu Ngọc

Cho x>0,y>0,z>0 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\).CMR:\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le1\)

Akai Haruma
14 tháng 10 2018 lúc 9:41

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+x+y+z)\geq (1+1+1+1)^2\)

\(\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+2y+z}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\geq \frac{16}{x+y+2z}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:

\(\Rightarrow 4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(\Rightarrow 16\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1\)

Ta có đpcm.

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
14 tháng 10 2018 lúc 9:42

Ta có :

\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+x+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\dfrac{1}{x+2y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\dfrac{1}{x+y+2z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+z+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Cộng từng vế của BĐT ta được :

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)

Vậy BĐT đã được chứng minh !


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết