a/ Ta có   \(x-y=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-2xy=0\Leftrightarrow x^2+y^2=2xy\)

Ta có  \(x^2\ge0\) và  \(y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow2xy\ge0\)

b/ Ta có: \(x-y+z=0\)

\(\Rightarrow\left(x-y+z\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy-xz+yz\right)\)

Vì \(x^2\ge0\)và  \(y^2\ge0\)và  \(z^2\ge0\)nên  \(x^2+y^2+z^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(xy-xz+yz\right)\ge0\Leftrightarrow xy-xz+yz\ge0\)

a, \(x-y=0\Rightarrow x=y\)

Vì x,y cùng dấu nên \(xy\ge0\)

Hok tốt

Lời giải:

Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:

$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$

$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$

Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$ 

Ta có đpcm.

a. Ta có : x - y = 0 \(\Rightarrow\)x = y

Ta có : xy = xx ( vì x = y) = x^2

Mà x^2 \(\ge\)0 với mọi x nên xy \(\ge\)0 với mọi x.

a)  Ta có x-y=0 => x=y 

      Ta có xy=x.x=x² > 0   (dấu = <=> x=y=0)

  b)  x-y+z=0 => x=y-z.Theo kết quả câu a ta có: x(y-z) > 0 => xy-xz > 0  (1)

      Tương tự: x-y+z=0 => y=x+z => y(x+z) > 0 => xy+yz > 0      (2)

                       x-y+z=0 => z=y-x => z(y-x) > 0 => zy-zx > 0        (3)

     Cộng từng vế của bất đẳng thức (1),(2),(3) ta đc 2(xy+yz-zx) > 0

     Do đó xy+yz-zx > 0  (dấu = <=> x=y=z=0)

  Good luck

Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)

\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)

\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)

\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)

\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Ta có :

\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}=\frac{xyz}{z\left(x+y\right)}=\frac{xyz}{x\left(y+z\right)}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)}\)

\(\Rightarrow z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)=y\left(z+x\right)\)

Từ \(z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)\Leftrightarrow xz+yz=xy+xz\Leftrightarrow yz=xy\Rightarrow x=z\) (1)

Từ \(x\left(y+z\right)=y\left(x+z\right)\Leftrightarrow xy+xz=xy+yz\Leftrightarrow xz=yz\Rightarrow x=y\) (2)

Từ \(z\left(x+y\right)=y\left(z+x\right)\Leftrightarrow xz+yz=yz+xy\Leftrightarrow xz=xy\Rightarrow z=y\) (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) \(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)

Lời giải:

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\)

Theo BDDT Schur ta có \(xyz\geq (x+y-z)(z+x-y)(y+z-x)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)\)

\(\Leftrightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\)

Do đó \(A=xy+yz+xz-xyz\leq xy+yz+xz-\frac{8}{9}(xy+yz+xz)+\frac{2}{9}=\frac{xy+yz+zx}{9}+\frac{2}{9}\)

Theo AM-GM dễ thấy \(1=(xy+yz+xz)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chứng minh \(xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)

Do $x,y,z\geq 0$ nên

\(A=xy(1-z)+yz(1-x)+xz=xy(x+y)+yz(y+z)+xz\geq 0\)

Dấu bẳng xảy ra khi \((x,y,z)=(0,0,1)\) và các hoán vị của nó

Bạn kiểm tra lại đề

\(z=max\left\{x;y;z\right\}\)hay \(z=min\left\{x;y;z\right\}\)

Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2.\)

<=>        \(x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2-x^2-y^2-z^2=0\)

<=>         \(2xy+2xz+2yz=0\)

<=>          \(2.\left(xy+xz+yz\right)=0\)

<=>           \(xy+xz+yz=0\)

Vậy_

Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+xz+yz\right)=0\)

\(xy+xz+yz=0\left(đpcm\right)\)