a, HCDB là hbh (gt)
-> CH // BD; HB // CD
Vì H là trực tâm của Δ ABC (gt)
-> CH vuông với AB ; BH vuông với AC ; AH vuông với BC
-> AB vuông BD ; AC vuông CD
-> ^ABD=90*, ^ ACD=90*
Xét tứ giác ABCD có: ^ABD + ^ ACD = 180*
-> tứ giác ABCD nội tiếp
-> A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn (1)
DE // BC (gt)
->AH vuông DE ( vì AH vuông BC )
-> ^AED = 90*
Xét tứ giác ABED có ^AED=^ABD=90*
-> B và E cùng nhìn AD dưới 1 góc 90*
-> ABED nội tiếp
-> A,B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ (1) và (2) -> A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn

b) ABEDC nội tiếp
-> ^BAE = ^BDE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Và ^DAC = ^DBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Mà ^DBC = ^BDE (2 góc sole trong)
-> ^BAE = ^CAD

OMG!!!!!!!!!!!!!!

em lên mạng hỏi à

lạy baba

a) Ta có: BHCD là hình bình hành(gt)

nên CH//BD và BH//CD

mà CH\(\perp\)AB(gt) và BH\(\perp\)AC(gt)

nên BD\(\perp\)AB và CD\(\perp\)AC

Suy ra: B,C nằm trên đường tròn đường kính AD(1)

Ta có: MD//BC(gt)

AM\(\perp\)BC(gt)

Do đó: MD\(\perp\)AM(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

hay M nằm trên đường tròn đường kính AD(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,B,C,D,M cùng thuộc 1 đường tròn(Đpcm)

b) Vì BMCD nội tiếp (chứng minh ở câu a) và \(MD\parallel BC\) (đề cho)

\(\Rightarrow BMDC\) là hình thang cân \(\Rightarrow BM=CD\)

c) Vì BHCD là hình bình hành có K là trung điểm BC 

\(\Rightarrow\) K là trung điểm HD 

Xét \(\Delta ADH\) có O là trung điểm AD (đường kính), K là trung điểm HD

\(\Rightarrow OK\) là đường trung bình \(\Rightarrow OK\parallel AH\) và \(OK=\dfrac{1}{2}AH\)

Vì \(OK\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OK}=\dfrac{AG}{GK}=2\Rightarrow AG=2GK\Rightarrow\dfrac{AG}{AK}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC

P/S: Tính chất đường cao và đồng quy trong tam giác đã học từ năm lớp 7 rồi nha bạn

a: Ta có: ΔBEC vuông tại E

=>ΔBEC nội tiếp đường tròn đường kính BC(1)

Ta có: ΔBDC vuông tại D

=>ΔBDC nội tiếp đường tròn đường kính BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra B,E,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

Tâm O là trung điểm của BC

b: Xét ΔABC có 

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại M

Ta có: AH\(\perp\)BC

EK\(\perp\)BC

Do đó: AH//EK

c: Ta có: ΔAHD vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH

=>ΔIDH cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{BHM}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{BCD}\)

Ta có: OD=OB

=>ΔODB cân tại O

=>\(\widehat{ODB}=\widehat{OBD}=\widehat{CBD}\)

Ta có: \(\widehat{IDO}=\widehat{IDH}+\widehat{ODB}\)

\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}\)

=90 độ

=>ID là tiếp tuyến của (O)

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC

a:

góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC

Xét ΔABC có

CD,BE là đường cao

CD cắt BE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

b: góc AEH+góc ADH=180 độ

=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

d: ID=IE

OD=OE

=>OI là trung trực của DE

=>OI vuông góc DE