a) Xét ∆ vuông DCB và ∆ vuông EBC ta có : 

BC chung 

ABC = ACB ( ∆ABC đều )

=> ∆DCB = ∆EBC ( ch-gn)

b) Gọi giao điểm AH và BC là K

Vì ∆DCB = ∆EBC (cmt)

=> DB = EC 

Xét ∆ vuông DHB và ∆ vuông EHC ta có : 

DB = EC (cmt)

DHB = EHC ( đối đỉnh)

=> ∆DHB = ∆EHC (cgv-gn)

Vì DB = EC 

AB = AC ( ∆ABC đều )

=> AD = AE 

=> ∆ADE cân tại A 

Xét ∆AHD và ∆AHE có : 

AH chung 

ADE = AED ( ∆ADE cân tại A )

AD = AE 

=> ∆AHD = ∆AHE (c.g.c)

=> DAH = EAH 

Hay AH là phân giác DAE 

Mà ∆ADE cân tại A(cmt)

=> AH là trung trực DE 

=> AH là trung trực BC 

d) Vì ∆ABC đều 

=> ABC = ACB = BAC = 60° 

Vì ∆ADE cân tại A 

Mà BAC = 60° 

=> ∆ADE đều 

=> ADE = AED = DAE = 60° 

Ta có : 

ADE + EDC = 90° 

=> EDC = 90° - 60° = 30° 

Mà DC//BI 

=> EDC = CBI = 30° ( đồng vị )

Mà ACB + BCI = 180° ( kề bù)

=> BCI = 180° - 60° = 120° 

Xét ∆BCI có : 

CBI + BIC + ICB = 180° 

=> BIC = 180° - 120° - 30° = 30° 

=> CBI = CIB = 30° 

=> ∆BCI cân tại C 

Mà DC//BI 

=> ADC = DBI = 90° 

Hay ∆ABI vuông tại B

a) Xét tam giác BDC vuông tại D và tam giác CEB vuông tại E, có:
    * BC là cạnh huyền chung 
    * góc DBC = góc ECB (tam giác ABC đều)
=> tam giác BDC = tam giác CEB (ch.gn) (đpcm)

b) Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC (BE, CD là đường cao)
    => HC = 2/3 CD
    => HB = 2/3 BE
    Mà CD = BE (tam giác BDC = tam giác CEB)
    => HC = HB

   Xét tam giác BHD vuông tại D và tam giác CHE vuông tại E, có:
   * BH = BC (cmt)
   * góc DHB = góc EHC (đối đỉnh)
   => tam giác BHD = tam giác CHE (ch.gn) (đpcm)

c) Ta có: CD là đường trung tuyến của tam giác ABC (tam giác ABC đều; tính chất)
    => D là trung điểm của AB
    
   Xét tam giác ABI, có:
   * D là trung điểm của AB (cmt)
   * DC // BI (gt)
   => C là trung điểm của AI (định lí 1 của đường trung bình trong tam giác)
   => AC = CI
   Mà AC = CB (tam giác ABC đều)
   => tam giác BIC cân tại C (đpcm)

a/ Xét hai tg vuông BCD và CBE có

^ABC=^ACB (ABC là tg đầu)

BC chung

=> tg BCD=tg CBE (theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

b/ 

Ta có tg BCD=tg CBE (cmt) => ^HBC=^HCB (Tương ứng cùng phụ với góc ^ACB=^ACB)

=> tg BHC cân => HB=HC

Xét hai tg vuông HDB và CHE có

HB=HC (cmt)

^BHD=^CHE (đối đỉnh)

=> tg HDB=tg CHE (theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

c/ Xét tam giác ABC có

BE, CD là đường cao => BE và CD cũng là trung trực (trong tam giác đều đường cao đồng thời là đường trung tuyến và đường trung trực)

=> H là giao của 3 đường trung trực => AH là trung trực của BC (Trong tam giác 3 đường trung trực đồng quy)

d/ Xét tam giác ABC có

CD là phân giác của ^ACB (trong tg đều đường cao đồng thời là đường phân giác)

=> ^ACD=^BCD (1)

CD//BI => ^BCD=^CBI (góc so le trong) (2)

và ^ACD=^BIC (Góc đồng vị) (3)

Từ (1) (2) (3) => ^CBI=^BIC => tg BCI cân tại C (có 2 góc ở đáy bằng nhau)

+ Ta có CD vuông góc AB

CD//BI

=> BI vuông góc AB => tg ABI vuông tại B

Tham khảo

a) Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC có:

AH chung

AB = AC (GT)

⇒ Δ AHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Ta có : Δ AHB = Δ AHC (câu a)

⇒ ˆBAH=ˆCAHBAH^=CAH^ ( 2 góc tương ứng) (1)

Ta lại có: HD // AC ( GT )

⇒ ˆDHA=ˆCAHDHA^=CAH^ (2 góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ˆDHA=ˆBAHDHA^=BAH^

Hay: ˆDHA=ˆDAHDHA^=DAH^

=> ΔADH cân tại D

=> AD = DH

c) Ta có: ΔABH = ΔACH (câu a)

⇔ BH =HC (hai cạnh tương ứng)

⇒ AH là trung tuyến ΔABC tại A ( 3)

Ta có : DH //AC ⇒ ∠DHB = ∠ACB ( 2 góc đồng vị )

Mà ΔABC cân tại A (GT)

⇒ ∠ABC= ∠ACB

⇒ ∠DHB = ∠DBH

=> ΔDHB cân tại D

⇒ DB =DH

Lại có AD = DH (câu b) ⇒ DA=DB

⇒ CD là trung tuyến ΔABC (4)

Từ (3), (4) ta có: AC cắt CD tại G ⇒ G là trọng tâm Δ ABC

Mà CE =EA ⇒ BE là trung tuyến Δ ABC tại B

⇒ BE qua G ⇒ B,G,E thẳng hàng

a) Xét ΔABK vuông tại B và ΔACK vuông tại C có

AK chung

AB=AC(ΔABC đều)

Do đó: ΔABK=ΔACK(cạnh huyền-cạnh góc vuông)