Kẻ BH vuông góc với Ox

=> BH = BO/2 ;( sin30 =BH/OB=1/2)

mà BH</ AB

=> BO/2 </ 2 => OB </4

OB max = 4 khi A trùng  với H ( BA vuông Ox)

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB, ta có độ dài OB lớn nhất khi OB là đường kính của (O), khi đó tam giác AOB vuông tại A, mà góc AOB = 30 độ suy ra OB=2AB=4cm.

OM=12-2=10cm

Xét ΔOBA có MN//BA

nên OM/MA=ON/NB

=>ON/NB=10/2=5

=>ON=5NB

mà ON+NB=18

nên ON=5/6*18=15cm

Kẻ BH vuông góc với Ox ; H thuộc Ox

Vì xOy =30 độ => tam giác vuông OBH có BH = OB/2

Mặt khác ta có BH </ AB   ( HB là đường vuông góc)

=> OB/2 </ AB

=> OB </ 2AB =2.2 =4

Vậy OB max =4 khi A trùng với H  hay BA vuông góc với Ox

a.Xét $\triangle$OAI và $\triangle$OBI có:

$\widehat{AOI}$ = $\widehat{BOI}$(OI là phân giác của $\widehat{xOy}$)

OB = OA(gt)

OI chung

=> $\triangle$OAI = $\triangle$OBI(c-g-c)

=>$\widehat{OIA}$ = $\widehat{OIB}$(2 góc t/ứ)

mà $\widehat{OIA}$ + $\widehat{OIB}$ = $180^0$

=>$\widehat{OIA}$ = $\widehat{OIB}$ = $180^0$ : 2 = $90^0$

=> OI$\bot$AB(đpcm)

b.Xét $\triangle$OBA có

AD là đng cao t/ứ vs OB(gt)

OI là đng cao t/ứ vs AB(cmt)

AD cắt OI tại C(gt)

=>C là trực tâm của $\triangle$OBA(tính chất 3 đng cao của $\triangle$)

=>BC ⊥Ox(đpcm)

M là trung điểm của AB

=> OM là đường trung tuyến của tam giác OAB vuông tại O

\(\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AB\)

N là trung điểm của FE

=> ON là đường trung tuyến của tam giác OEF vuông tại O

\(\Rightarrow ON=\frac{1}{2}\text{EF}\)

Xét tam giác FOE và tam giác AOB có:

FO = AO (gt)

FOE = AOB (= 90⁰)

OE = OB (gt)

=> Tam giác FOE = Tam giác AOB (c.g.c)

=> FE = AB (2 cạnh tương ứng)

mà \(OM=\frac{1}{2}AB\) (chứng minh trên)

\(ON=\frac{1}{2}FE\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow OM=ON=\frac{1}{2}AB\)