Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)  

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)

Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)

Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Đặt: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=2\)

=> \(m^2=2n^2\)

=> \(m^2\) chia hết cho \(2\). Mà 2 là số nguyên tố nên => \(m\) chia hét cho 2

Đặt: \(m=2k\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=\frac{4k^2}{n^2}=2\)

=> \(4k^2=2n^2\)

=> \(n^2=2k^2\)

=> \(n^2\) chia hết cho 2. Mà 2 là số nguyên tố nên n chia hết cho 2.

Ta có \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}=\frac{2a}{2b}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vo tỉ.

Các câu sau tương tự

Mình dùng phương pháp phản chứng hơi tắt một tí.

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì sẽ có dạng \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) tối giản.

Mình chứng minh \(\frac{m}{n}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

phản chứng : giả sử tất cả thuộc Q a đặt a= căn 2+ căn 3(a thuộc Q) . bình phương 2 vế ta có a^2=5+2 căn 6=> căn 6 = a^2-5/2 thuộc Q => vô lí

b đặt căn 2 + căn 3 + căn 5 = a. chuyển căn 5 sang vế a bình phương lên ta có 2 căn 6=a^2-2 căn 5 a

bình phương 1 lần nữa =>căn 5= a^4+20a^2-24/4a^3 thuộc Q => vô lí

c bình phương lên => căn 2=A-1 thuộc Q => vô lí

d tương tự căn 3=Bn-mn thuộc Q => vô lí

chúc bạn học tốt

Giả sử phản chứng √12 là số hữu tỉ ⇒ √12 có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n 
√12 = m/n 
⇒ 12 = m²/n² 
⇒ m² = 12n² 
⇒ m² chia hết cho n² 
⇒ m chia hết cho n (vô lý vì m/n là phân số tối giản nên m không chia hết cho n) 
Vậy giả sử phản chứng là sai. Suy ra √12 là số vô tỉ.

bạn ấn máy tính \(\sqrt{12}\) nếu nó ra 1 hàng số dài thì nó là số vô tỉ

Mk đag cần cm nha bạn

Giả sử rằng  là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho \(\frac{a}{b}\) = .Như vậy  có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọnđược nữa): \(\frac{a}{b}\) với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (\(\frac{a}{b}\))² = 2.Từ (2) suy ra \(\frac{a^2}{b^2}\) = 2 và a² = 2 b².Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b²  4k² = 2b²  2k² = b².Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn (lí luận tương tự như (5).Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận  là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận  là số vô tỉ.

Để chứng minh: "{\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số vô tỉ" người ta còn dùng phương pháp phản chứng theo một cách khác, cách này ít nổi tiếng hơn cách ở trên.

Giả sử rằng {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là tồn tại hai số nguyên dương m và n sao cho m/n = {\displaystyle {\sqrt {2}}}.Biến đổi đẳng thức trên, ta có: m/n = (2n - m)/(m - n).Vì {\displaystyle {\sqrt {2}}} > 1, nên từ (1) suy ra m > n {\displaystyle \Leftrightarrow } m > 2n - m.Từ (2) và (3) suy ra (2n - m)/(m - n) là phân số rút gọn của phân số m/n.

Từ (4) suy ra, m/n không thể là phân số tối giản hay {\displaystyle {\sqrt {2}}} không thể là số hữu tỉ - mâu thuẫn với giả thiết {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Vậy {\displaystyle {\sqrt {2}}} phải là số vô tỉ.

sgk có nhé bn

Gỉa sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{2}\)còn viết được dưới dạng \(\frac{m}{n}\)=> m và n là 2 số nguyên tố cùng nhau 

=>\(\left(\frac{m}{n}\right)^2=2\)

=> m² = 2n²

=> m² chia hết cho 2

=> m chia hết cho 2 ( 1 )

Đặt m = 2k ( k thuộc Z )

=> ( 2k )² = 2n²

=> 2k² = n²

=> n² chia hết cho 2

=> n chia hết cho 2 ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => m và n cùng chia hết cho 2

=> m và n không phải là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> điều đã giả sử là sai

=> \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

k mình nha !!!

a. Giả sử \(\sqrt{3}\) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √3 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: (√3 )2 = (a/b )2 hay a2 = 3b2 (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: (3c)2 = 3b2 hay b2 = 3c2

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy √3 là số vô tỉ.

b. * Giả sử 5√2 là số hữu tỉ a, nghĩa là: 5√2 = a

Suy ra: √2 = a / 5 hay √2 là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.

Vậy 5√2 là số vô tỉ.

* Giả sử 3 + √2 là số hữu tỉ b, nghĩa là:

3 + √2 = b

Suy ra: √2 = b - 3 hay √2 là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì √2 là số vô tỉ.

Vậy 3 + √2 là số vô tỉ.

Ta có: \(\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ

=> \(2+\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ

=> \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\) là số vô tỉ

=> đpcm

Giả sử \(\sqrt{2+\sqrt{5}}=q\left(q\inℚ\right)\)

\(\Rightarrow2+\sqrt{5}=q^2\inℚ\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5}=q-2\inℚ\)(Vô lý vì \(\sqrt{5}\in I\))

Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{3}\)là một số hữu tỉ 

\(\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{a}{b}\left(a;b\ne0\right);ƯCLN\left(a,b\right)=1 \)

\(\Rightarrow3=\frac{a^2}{b^2}\)

Ta có : \(a^2=3b^2\).Mà 3 là một số nguyên tố 

=> \(a^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3\)

Vì \(a⋮3\).=> Đặt a= 3k

=>a² = 9k²

Thay vào ta có : 

\(3=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow b^2=9k^2:3\)

\(\Rightarrow b^2=3k^2\).Vì 3 là số nguyên tố 

\(\Rightarrow b^2⋮3\Leftrightarrow b⋮3\)

Vì \(a⋮3;b⋮3\)trái với UWCLN(a,b) =1

=> \(\sqrt{3}\)là một số vô tỉ

thank bạn nha