Cho x,y,z,t > 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{3}{4}<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<\frac{5}{2}\)
Cho x, y, z,t > 0. Chứng minh rằng \(\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{y+z+t}+\frac{z+t}{z+t+x}+\frac{t+x}{t+x+y}\)> 2
Ta có
\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )
cho x,y,z >0
chứng minh rằng \(\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\le\frac{3}{4}\)
đặt \(NTCT=\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\)
\(\Rightarrow3NTCT=\frac{3y}{x+3y}+\frac{3z}{y+3z}+\frac{3x}{z+3x}\)
\(=3-\left(\frac{x}{x+3y}+\frac{y}{y+3z}+\frac{z}{z+3x}\right)=3-\left(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\right)\)
lại có:
\(\frac{x^2}{x^2+3xy}+\frac{y^2}{y^2+3yz}+\frac{z^2}{z^2+3zx}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow3NTCT\le3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\Rightarrow NTCT\le\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z
Vũ Thu Mai bn tham khảo nhé. Tham khảo thôi nha:
áp dụng cosi 3 số ko âm:
1.1.³√(x+3y) ≤ (1+1+x+3y)\3
1.1 ³√(y+3z) ≤ (1+1+y+3z)\3
1.1.³√(z+3x) ≤ (1+1+z+3x)\3
cộng vế vế ta đc
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+4(x+y+z))\3
=> ³√(x+3y) + ³√(y+3z) + ³√(z+3x) ≤ (6+3)\3 = 3
dấu = xảy ra khi:
1 = ³√(x+3y) = ³√(y+3z) = ³√(z+3x)
=> x=y=z=1/4
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)
làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe)
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{x}{x+y}\right)^2+\left(\frac{y}{y+z}\right)^2+\left(\frac{z}{z+x}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
Cho \(x;y;z;t>0\)thỏa \(x+y+z+t=1\). Chứng minh: \(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}\ge\frac{1}{4}\)
\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)
\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)
\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4
Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ
Cách khác: (dù không biết đúng hay sai ạ!)
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}\ge\frac{x+y+z+t}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\ge\left(x+y+z+t\right)\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x,y,z\right\}\) và đặt \(x=a;y=a+u;z=a+v;t=a+w\) thì
\(a>0;u,v,w\ge0\). Ta có:
\(VT-VP=\)
\(\ge0\).
Em là em nhìn sơ qua là em thấy BĐT cuối nó đúng đó ạ. Chị check lại thử
a)Cho x,y,z la các số dương
Chứng minh rằng: \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}\)
b)Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng:\(ab+bc+ca\le0\)
đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4
thay vào vế trái ta có
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)
Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)
------------
Cách khác:
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3
- - -
Côsi cho 3 số:
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)
Côsi cho 3 số:
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)
Lấy (1*) *(2*) ta có:
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9
=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4
thay vào P ta có:
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z
Bạn ơi vì sao lại nhân với 9/4 mình tưởng chỉ nhân với 3/4 thôi chứ nhỉ
\(\sqrt{ắdsadwaswa\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}da\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}wáda\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}ưa\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}d\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\sigma ssssssa}\)
Cho x,y,z > 0 . Chứng minh rằng \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)≥3
P/s: BĐT AM-GM là ra thôi bạn :D
Áp dụng AM-GM cho các số không âm, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Cho x,y,z > 0 . Chứng minh rằng : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) ≥ 3
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.y.z}{y.z.x}}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Cho x,y,z>0 và xyz=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^4+2}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)
Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))