b: Gọi d=UCLN(2n+1;3n+1)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

=>d=1

=>UC(2n+1;3n+1)={1;-1}

c: Gọi d=UCLN(75n+6;8n+7)

\(\Leftrightarrow8\left(5n+6\right)-5\left(8n+7\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow d=13\)

=>UC(5n+6;8n+7)={1;-1;13;-13}

Bài 4:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ

hay P-1 và P+1 là các số chẵn

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P=3k+1(k∈N) hoặc P=3k+2(k∈N)

Thay P=3k+1 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k-1+1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(1)

Thay P=3k+2 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮3\)

mà \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

và (3;8)=1

nên \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮24\)(đpcm)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số nguyên tố lẻ

=> Tổng p+2021 là số chẵn

Mà p+2021>2 nên p+2021 là hợp số

Vậy p+2021 là họp số.

Lời giải:

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là số tự nhiên; $k\geq 2$.

Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\vdots 3$ và $2p+1=3(2k+1)>3$ nên $2p+1$ không phải số nguyên tố (trái giả thiết).

Do đó $p=3k+2$.

Khi đó:

$p(p+5)+31=(3k+2)(3k+7)+31=9k^2+27k+45=9(k^2+3k+5)\vdots 9$ nên $p(p+5)+31$ là hợp số (đpcm)

Do n nghuyên tố > 3 => n không chia hết cho 3 => n² không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1; 2006 chia 3 dư 2

=> n² + 2006 chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < n² + 2006

=> n² + 2006 là hợp số

n là SNT lớn hơn 3

=> n ko chia hết cho 3

=>n² chia 3 dư 1

=>n²=3k+1

=>n²+2006=3k+1+2006=3k+2007 chia hết cho 3 (vì 3k và 2007đeều chia hết cho 3)

=>n²+2006 là hợp số

Do n nghuyên tố > 3 => n không chia hết cho 3 => n² không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1; 2006 chia 3 dư 2

=> n² + 2006 chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < n² + 2006

=> n² + 2006 là hợp số

+, Nếu p khác 3 thì p ko chia hết cho 3

=> p^2 chia 3 dư 1

=> p^2+2 chia hết cho 3

Mà p^2+2 > 3 => p^2+2 là hợp số 

=> ko t/m

=> p = 3

=> p^3+2 = 3^3+2 = 29 là số nguyên tố

=> ĐPCM

Tk mk nha

*) \(p=2\) thì \(p^2+2=6\) ( loại vì 6 không phải là số nguyên tố 

*) \(p=3\) thì \(p^2+2=11\) ( chọn vì 11 là số nguyên tố )

\(\Rightarrow\)\(p^3+2=3^3+2=29\) ( là số nguyên tố )

*) \(p>3\)

Vì \(p\) là số nguyên tố \(\Rightarrow\)\(p\)không chia hết cho 3 ( 1 )

\(p\inℤ\)\(\Rightarrow\)\(p^2\) là số chính phương ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(p^2\) : 3 dư 1 

\(\Rightarrow p^2+2⋮3\)( 3 )

Mặt khác \(p>3\)

\(\Rightarrow p^2>9\)

\(\Rightarrow p^2+2>11\)( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra : \(p^2+2\)không là số nguyên tố ( trái với đề bài )