đặc : \(A=x_1+x_2+x_3+...+x_9=10\) ; \(B=x_1+2x_2+3x_3+...+9x_9=18\)

ta có : \(B-20A=-\left(19x_1+18x_2+17x_3+...+11x_9\right)=-182\)

\(\Leftrightarrow19x_1+18x_2+17x_3+...+11x_9=182=C\) (1)

ta lấy \(A-B=D=x_2+2x_3+3x_4+...+8x_9=8\)

\(\Rightarrow11D=11x_2+11.2x_3+11.3x_4+...+11.8x_9=88\)

ta dễ thấy : \(1.19x_1+2.18x_2+3.17x_3+...+9.11x_9\ge C+D=270\left(đpcm\right)\)

dấu "=" xảy ra khi \(x_2;x_3;x_4;....;x_8=0\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_9=10\\x_1+9x_9=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=9\\x_9=1\end{matrix}\right.\)

Lên mạng tra là có. Đề CSP nên không ít trang đăng lên đâu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-10\right)=\left(x_2-10\right)=\left(x_3-10\right)=...=\left(x_9-10\right)\\x_1+x_2+x_3+...+x_9=90\end{matrix}\right.\)

=>x1=x2=x3=...=x9=10

Theo bài ra ta có : \(\dfrac{x1-1}{9}=\dfrac{x2-2}{8}=\dfrac{x3-3}{7}=......=\dfrac{x9-9}{1}\)

= \(\dfrac{\left(x1-1\right)+\left(x2-2\right)+\left(x3-3\right)+....+\left(x9-9\right)}{9+8+7+....+2+1}\)

=\(\dfrac{\left(x1+x2+x3+....+x9\right)-\left(1+2+3+...+9\right)}{9+8+7+...+1}\)

= \(\dfrac{90-45}{45}=\dfrac{45}{45}=1\)

=> \(x1=9.1+1=10\)

\(x2=8.1+2=10\)

\(x3=7.1+3=10\)

\(x4=6.1+4=10\)

\(x5=5.1+5=10\)

\(x6=4.1+6=10\)

\(x7=3.1+7=10\)

\(x8=2.1+8=10\)

\(x9=1.1+9=10\)

Vậy \(x1,x2,x3,x4,x5,...,x9\) tất cả đều bằng 10

x₁+x₂+x₃+...+x₂₀₀₈=2008

\(\Leftrightarrow\)(x₁-1)+(x₂-1)+(x₃-1)+...+(x₂₀₀₈-1)=0 (1)

x³₁+x³₂+x³₃+...+x³₂₀₀₈=x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃+...+x⁴₂₀₀₈

Lấy vế phải trừ vế trái ta được :

x³₁(x₁-1)+x³₂(x₂-1)+x³₃(x₃-1)+...+x³₂₀₀₈(x₂₀₀₈-1)=0 (2)

Lấy (1) (2) rồi đặt nhân tử chung là ra cái này

(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Ta thấy (x³₁-1)(x₁-1) = (x₁-1)(x²₁+x₁+1)(x₁-1) = (x₁-1)²(x²₁+x₁+1)\(\ge\)0 Với mọi x

CMTT : (x₂³-1)(x₂-1) \(\ge\)0 Với mọi x

.............................................

(x₂₀₀₈³-1)(x₂₀₀₈-1) \(\ge\)0 Với mọi x

\(\Rightarrow\)(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)\(\ge\)0

Mà(x³₁-1)(x₁-1)+(x³₂-1)(x₂-1)+(x³₃-1)(x₃-1)+...+(x³₂₀₀₈-1)(x₂₀₀₈-1)=0

Đến đây bạn tự suy ra x₁=1; x₂=1;...;x₂₀₀₈=1 nhé!

Mình hơi bận nên không giải tiếp được bán nhé!

Mong bạn thông cảm

@ Nguyên Công Thành

Dễ

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x_1-1}{9}=\frac{x_2-2}{8}=\frac{x_3-3}{7}=...=\frac{x_9-9}{1}=\frac{x_1-1+x_2-2+...+x_9-9}{9+8+7+...+1}\)\(=\frac{\left(x_1+x_2+...+x_9\right)-45}{45}=\frac{90-45}{45}=\frac{45}{45}=1\)

Từ \(\frac{x_1-1}{9}=1\Rightarrow x_1=1\cdot9+1=10\)

Vậy \(x_1=10\)