chứng minh rằng nếu a+b+2c = 0 thì a3 + b3 + 8c3 = 6abc
Chứng minh rằng nếu a + b + 2c = 0 Thì a^3 + b^3 + 8c^3 = 6abc
Ta có : a+b+2c=0 => a+b= -2c
Có : a3 +b3 +8c3= (a+b)3 -3ab(a+b) +(2c)3
= [ (a+b)3 +(2c)3 ] -3ab(-2c)
=(a+b+2c)[(a+b)2 +(a+b)c +c2]+6abc
= 0 . [(a+b)2 +(a+b)c +c2] +6abc
= 6abc
Vậy nếu a+b+2c=0 thì a3+b3+8c3= 6abc
Chứng minh rằng nếu a3 +b3+c3 =3abc thì a+b+c =0 hoặc a = b= c
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng a3 +b3 +c3 >=3abc.
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0\)(vì a+b+c>0)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
Vì \(a,b,c>0\Leftrightarrow a+b+c>0\)
Lại có \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
Nhân vế theo vế ta được đpcm
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
⇔a3+b3+c3−3abc>=0⇔a3+b3+c3−3abc>=0
⇔(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc>=0⇔(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc>=0
⇔(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)>=0⇔(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)>=0
⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac>=0⇔2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac>=0(vì a+b+c>0)
⇔(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2>=0⇔(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2>=0(luôn đúng)
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
a3+b3+c3= (a+b)3-3ab(a+b)+c3
Thay a+b=-c vào, ta được:
a3 + b3 +c3 = (-c)3 -3ab(-c) +c3 = 3abc (đpcm)
Xét a,b là các số thực thỏa mãn:
1. a3 + a = 3 và b3 + b = 3. Chứng minh rằng a=b.
2. a3+ 3a2+ 4a - 2 =0 và b3- 3b2 + 4b - 7 =0. Tính a + b ?
10:591. b3+b= 3
(b3+b)=3
b.(3+1)=3
b. 4= 3
b=\(\dfrac{3}{4}\)
a3+a= 3 b3
(a3+a)=3
a.(3+1)=3
a. 4= 3
a=\(\dfrac{3}{4}\)
2
1/ chứng minh rằng nếu a+b+2c=0 thì a3+b3+8c3=6abc
2/ cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng ED. Gọi M là trung điểm của BC, Chứng minh DK=HE
1/ chứng minh rằng nếu a+b+2c=0 thì a3+b3+8c3=6abc
2/ cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng ED. Gọi M là trung điểm của BC, Chứng minh DK=HE
Cho a,b,c là ba số thực bất kì thỏa mãn a+b+c=0
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 0
Lời giải:
$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
Ta có:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=(-c)^3+3abc+c^3=3abc$ chứ không phải bằng $0$ nhé.
Các bạn giúp mình bài này với
Chứng minh: nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+c^3-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-bc-ac)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
Thay a + b + c = 0, ta có:
0(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=0
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
Theo bài ra, ta có: a+b+c
Suy ra: 3(a+b+c)-3abc=0
Suy ra: -3abc=0
Tương đương: -3*(b+c)*(a+c)*(a+b)=0
Tương đương: -3* a^2+b^2+c^2=0
Tương đương: -3*0=0
Suy ra: nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3-3abc=0(đpcm)