Giải

Gọi M, N, I là trung điểm của hai cạnh AB, CD và đường chéo AC

Trong \(\Delta\)ABD ta có: MI = \(\frac{AD}{2}\)

và MI // AD (vì MI là đường trung bình)

Trong \(\Delta\)BCD ta có: NI = \(\frac{BC}{2}\)

và NI // BC (NI là đường trung bình)

=> MI + NI = \(\frac{AD+BC}{2}\) (1)

Mặt khác, theo giả thiết MN = \(\frac{AD+BC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => MN = MI + NI, đẳng thức này chứng tỏ I nằm trên đoạn MN

Vậy MN song song với AD và BC, hay tứ giác ABCD là hình thang

Xét tam giác BCD có: - KB = KC (gt)

- MB = MD (gt)

MK là trung bình của BCD.

MK song song và bằng ½ CD

Tương tự như trên ta có:

- HN là trung bình ADC. HN song song và bằng ½ CD.

- HM là trung bình ABD. HM song song và bằng ½ AB.

- KN là trung bình của CAB. KN song song và bằng ½ AB.

H, M, N, K thẳng hàng (tiên đề Ơ – clit)

HK là trung bình của hình thang ABCD (tự chứng minh).

HK = (AB + CD)/2 (t/c)

HM + NK + KM + HN = 2HK.

mà MN = HK – HM – NK

MN = (HM + NK + KM + HN)/2 – HM – NK

= (AB + CD)/2 – AB

= 1/2AB – AB + CD/2

= CD/2 – 1/2AB

= (CD – AB)/2 (đpcm)

Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d

C A B 2 = 2 π . a 2 2 = π . a 2 . Tương tự  C C D 2 = π . c 2

Vậy  C A B 2 + C C D 2 = π 2 a + c

Có  C B C 2 + C C D 2 = π 2 b + d

Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp => a + c = b + d => ĐPCM