\(VT=\dfrac{a^2}{b+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+abc^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{3+3abc}\)

\(VT\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{9}}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bbaif này áp dụng Cauchy thì có đúng không thầy?

ta có \(a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2.\)

áp dụng BĐT cauchy

=>\(a^2+2b^2+3>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

=>\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}< =\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

tương tự ta có \(\hept{\frac{1}{b^2+2c^2+3}< =\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}}\),\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}< =\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)

=>VT<=\(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{ac+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}\right)\)

<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{ac+a^2bc+abc}+\frac{abc}{bc+c+abc}\right)\)(do abc=1)

<=>VT<=\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}\right)\)=\(\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)

Tại có: abc=1 =>a=1;b=1;c=1.

Syu ra: 1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)+1/(1+2.1+3)

=1/6+1/6+1/6=1/2

=>1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3) \(\le\)1/2

=> đpcm

ko phải vậy đâu thỉn ty tfboys... abc=1 thì làm sao => a=b=c=1...

Gái xinh review app chất cho cả nhà đây: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618 Link tải app: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

Với Kho Đề đã được cập nhật, hiện tại Đáp Án Chi Tiết môn TOÁN Kỳ thi THPT quốc gia đã có trên Ứng Dụng. Các bạn tha hồ kiểm tra đối chiếu với bài làm của mình rồi nhé Tải ngay App về để xem đáp án chi tiết nào: https://giaingay.com.vn/downapp.html

Tải app giải toán và kết bạn trao đổi nào cả nhà: https://www.facebook.com/watch/?v=485078328966618

lớn hơn hay = thế ạ

Ta có :

\(a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(1+2a^2b^2c^2\right)\ge9a^2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^{3v}+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)(*)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\ge3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)

\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\ge3a^2b^3c^2\)

\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^4\ge3a^2b^2c^3\)

Cộng theo vế

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)

Vậy $(*)$ đúng

Do đó ta có đpcm

#Cừu

~

p/s: lần sau ghi nguồn 

#  https://h7.net/hoi-dap/toan-9/chung-minh-a-2b-b-2c-c-2a-9a-2b-2c-2-1-2a-2b-2c-2--faq362074.html

Bài 1:

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có: 

\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2

Bài 2/

\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)

\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)

\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu =  xảy ra khi \(a=b=c=1\)

bạn alibaba dòng thứ nhất rồi sao ra được dòng thứ hai á bạn mình k hiểu

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho từng cặp số không âm, ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)  \(\left(2\right)\)

Cộng  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)  

Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do  \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(b\)  \(\rightarrow\)  \(c\)  \(\rightarrow\)  \(a\)  \(\rightarrow\)  \(b\), ta có:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)  \(\left(\text{*}\right)\)  

Mặt khác, xét từng phân thức  \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\)  kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là  \(abc=1,\)  ta có:

\(\frac{1}{ab+b+1};\)  \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\)  và  \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)

Do đó,  \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra  \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

a³/b+2c + b³/c+2a + c³/a+2b = a⁴/ab+2ac + b⁴/bc+2ab + c⁴/ac+2bc\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{1}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{3}\left(ĐPCM\right)\)

\(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\)

\(=\frac{a^4}{ab+2ca}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ca+2bc}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3}\)