a: góc AKB=1/2*sđ cung AB=90 độ

góc HCB+góc HKB=180 độ

=>HCBK nội tiếp

b: Xét ΔACH vuông tại C và ΔAKB vuông tại K có

góc CAH chung

=>ΔACH đồng dạng với ΔAKB

=>AC/AK=AH/AB

=>AK*AH=AB*AC=2R*1/2R=R^2

   Ta có: góc AKP = 90độ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AK giao MN tại H =) Góc HKP = 90độ (1)

  Lại có: MC vuông góc AB =) Góc HCB = 90độ (2)

Từ (1) và (2) =) góc HKP + góc HCP = 180độ

Mà 2 góc đối nhau

=) Tứ giác BCHK nội tiếp

1) Xét (O) có 

ΔKAB nội tiếp đường tròn(K,A,B\(\in\)(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔKAB vuông tại K(Định lí)

\(\Leftrightarrow\widehat{AKB}=90^0\)

hay \(\widehat{HKB}=90^0\)

Xét tứ giác BKHC có 

\(\widehat{HKB}\) và \(\widehat{HCB}\) là hai góc đối

\(\widehat{HKB}+\widehat{HCB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: BKHC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay B,K,H,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK tại D

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle EMB+\angle EHB=90+90=180\)

\(\Rightarrow EMBH\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle KBD=\angle MBH=\angle AEH\)

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow\angle AEH=\angle KDB\Rightarrow\angle KBD=\angle KDB\)

\(\Rightarrow\Delta KDB\) cân tại K có KH là đường cao 

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BD mà B,H cố định \(\Rightarrow D\) cố định

Vì KEAD nội tiếp \(\Rightarrow I\in\) trung trực AD mà A,D cố định

\(\Rightarrow\) đpcm

a.

Góc AKB là góc nội tiếp chắn nửa (O) nên ∠AKB=90o∠AKB=90o

Khi này dễ dàng có đpcm

b.

Do C là trung điểm OA nên AC=OA2=R2AC=OA2=R2

Tứ giác BCHK nội tiếp nên chứng minh được △AHC∼△ABK△AHC∼△ABK

Từ đó: ACAK=AHAB⇒AH.AK=AC.AB=R2.2R=R2ACAK=AHAB⇒AH.AK=AC.AB=R2.2R=R2

c.

Lấy điểm E trên tia đối của BK sao cho KE=KM=KI

Chứng minh được tam giác AMO đều (có 3 cạnh = nhau) khi đó ∠MAB=60o∠MAB=60o

Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABKM nội tiếp nên ∠MKE=∠MAB=60o∠MKE=∠MAB=60o

khi đó tam giác MKE đều nên ME = MK(1)

Có ∠CMB=∠MAB=6oo∠CMB=∠MAB=6oo (hai góc cùng phụ với góc AMC) nên

∠MNK=∠BME(2)∠MNK=∠BME(2)

Góc CMB=60oCMB=60o nên MB=2MCMB=2MC mà MN=2MCMN=2MC nên MN=MB(3)MN=MB(3)

Từ (1),(2) và (3) nên △NMK=△BME△NMK=△BME nên NK=BENK=BE hay NI+IK=BK+KINI+IK=BK+KI từ đó có đpcm

Hình gửi kèm

cần gắp ko bn êi

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow\angle ACD=\angle AMD=90\)

\(\Rightarrow ACMD\) nội tiếp

b) Ta có: \(\angle KCB+\angle KMB=90+90=180\Rightarrow KCBM\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AKC=\angle MBA\)

Ta có: \(\angle NMK=\angle MBA=\angle AKC=\angle MKN\)

\(\Rightarrow\Delta NMK\) cân tại N

c) Vì B và E đối xứng với nhau qua C \(\Rightarrow\) CD là trung trực BE

\(\Rightarrow\angle DEC=\angle DBC=\angle AKC\Rightarrow AKDE\) nội tiếp

c: O là trung điểm của AB

=>OA=OB=R

I là trung điểm của OA

=>OI=OA=0,5R

=>IB=1,5R

ΔIHA đồng dạng với ΔIBM

=>IH/IB=IA/IM

=>IH=3R/8