Đặt: \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=k\)

\(\Rightarrow x=k\)

     \(y=2k\)

     \(z=3k\)

Thay x = k , y = 2k , z = 3k vào biểu thức cần cm ,ta đc:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right)=\left(k+2k+3k\right)\left(\frac{1}{k}+\frac{4}{2k}+\frac{9}{3k}\right)\)

\(=6k.\left(\frac{1}{k}+\frac{2}{k}+\frac{3}{k}\right)\)

\(=6k.\frac{6}{k}\)

\(=\frac{36k}{k}=36\)

=.= hok tốt!!

Đặt \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=k\)

Do đó  \(x=k;y=2k;z=3k\)

Thay \(x=k;y=2k;z=3k\)vào \(\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right)\)ta có 

\(\left(k+2k+3k\right).\left(\frac{1}{k}+\frac{4}{2k}+\frac{9}{3k}\right)\)

\(=6k.\left(\frac{6}{6k}+\frac{12}{6k}+\frac{18}{6k}\right)\)

\(=6k.\frac{6+12+18}{6k}\)

\(=\frac{6k.\left(6+12+18\right)}{6k}\)

\(=36\)

Do đó \(\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\right)=36\)

Ta có:

\(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{1+2+3}=\frac{x+y+z}{6}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

=>  \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{1}=\frac{x+y+z}{6}\\\frac{y}{2}=\frac{x+y+z}{6}\\\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{6}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{x+y+z}{6}\\y=\frac{x+y+z}{3}\\z=\frac{x+y+z}{2}\end{cases}}\)

Đặt biểu thức cần chứng minh là A và x + y + z = k

=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{k}{6}\\y=\frac{k}{3}\\z=\frac{k}{2}\end{cases}}\)

=> A = \(k\left(\frac{1}{\frac{k}{6}}+\frac{4}{\frac{k}{3}}+\frac{9}{\frac{k}{2}}\right)\)

    A = \(k.\left(\frac{6}{k}+\frac{12}{k}+\frac{18}{k}\right)=k.\frac{36}{k}=36\)(đpcm)

Lời giải:

BĐT \(\Leftrightarrow (9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(xy+yz+xz)\geq 36xyz(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM:

\(9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1+1+...+1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

\(xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

Nhân theo vế ta có BĐT $(*)$ luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Đề bài có vấn đề bạn nhé !

Đẳng thức <=>1/x+1/y+1/z=1/x-1/y-1/z

<=>2(1/y+1/z)=0

<=> (y+z)/yz=0

<=> y+z=0 do yz khác 0 (đk)

<=> x=0 do x=y+z

đến đây thì vô lí nhé do x khác 0 (đk)

Đề sai nhá đáng nẽ là ; CMR : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)

Vì \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1\)

Bình phương cả hai vế ta có  : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(-\frac{1}{xy}+-\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\frac{x-y-z}{zyz}=1\)

Vì x = y + z => x - y - z = 0 

Nên : \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+0=1\)

Vậy \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)(đpcm)

Đề có sai không vậy bạn ?

Nếu đề đúng như you nói : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)thì tui có another way :

\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}-\frac{2}{xz}=1\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{2}{yz}=1\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{x}\cdot\frac{\left(y+z\right)}{yz}+2yz=1\)

Mà x = y+z nên \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\left(đpcm\right)\)

https://diendantoanhoc.net/topic/167390-cmr-sum-fracx3y38geq-frac19frac227xyyzzx/ 

bạn tham khảo nhé

Đặt: \(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}=M\)

Ta có: 

\(M\cdot\frac{z}{x-y}=1+\frac{z}{x-y}\cdot\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right)=1+\frac{z}{x-y}\cdot\frac{y^2-yz+xz-x^2}{xy}\)

\(=1+\frac{z}{x-y}\cdot\frac{\left(x-y\right)\left(z-x-y\right)}{xy}=1+\frac{2z^2}{xyz}=1+\frac{2z^3}{xyz}\)            (1)

Tương tự ta cũng có:

\(M\cdot\frac{x}{y-z}=1+\frac{2x^3}{xyz}\)              (2)

\(M\cdot\frac{y}{z-x}=1+\frac{2y^3}{xyz}\)            (3)

Từ (1);(2);(3) suy ra

\(M\cdot\left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)=3+\frac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{xyz}\)

Mà \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Nên:

\(M\cdot\left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)=3+\frac{2\cdot3xyz}{xyz}=9\)

=>đpcm