=> \(\widehat{C}=180-90-15=70^o\)

Ta có:

\(sin15=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{AC}{sin15}=\dfrac{4AC}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)

\(sin75=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\dfrac{AB}{sin75}=\dfrac{4AB}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow BC^2=\dfrac{16.AB.AC}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}=4.AB.AC\)

Ta có tính chất: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30⁰ thì bằng 1 nửa cạnh huyển

Ở đề bài ta có: BC = 2AC

=> \(\widehat{ABC}=30^0\)

Ta lại có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)( định lí tổng ba góc trong một tam giác)

=> \(\widehat{ACB}=180^0-30^0=60^0\)

Vậy góc ACB = 60⁰

Ta có tam giác ABC = 90 độ nên

góc ABC +góc ACB = 90 độ 

vì lấy điểm E nằm trong tam giác nên 

góc ABE + EBC + ACE + ECB = 90 độ

=> góc EBC + ECB < 90 độ

nên góc BEC > 90 độ

Vẽ đường thẳng song song với AC và vuông góc với AB tài D và N ( góc NDA = 90 độ)

Xét tam giác NAD và tam giác NAH có :

góc DAN = góc NAH ( vì DN là tia p/g góc BAH)

AN cạnh chung 

=> tam giác NAD = tam giác NAH ( ch-gn)

=> góc DNA = góc ANH ( hai góc tương ứng ) (1)

Mặt khác : góc DNA = góc NAC ( hai góc so le trong ) 

Kết hợp (1) => góc DNA = góc ANH = góc NAC => tam giác NCA cân tại C => NC =AC (3)

Xét  tam giác NCI và tam giác ACI có:

NC =AC ( do (3))

CI cạnh chung 

góc NCI = góc ICA ( CI là p/g góc BCA)

=> tam giác NCI = tam giác ACI ( c.g.c)

=> góc NIC = góc AIC ( hai góc tương ứng ) 

Mà góc NIC và góc AIC là cặp góc kề bù 

=> góc NIC = góc AIC = 90 độ

**** bạn

Ta có hình vẽ:

Vì AI là phân giác của BAH nên \(BAI=HAI=\frac{BAH}{2}\)

CI là phân giác của BCA nên \(BCI=ACI=\frac{BCA}{2}\)

Δ ABC vuông tại A có: ABC + BCA = 90^o

=> BCA = 90^o - ABC

=> \(\frac{BCA}{2}=45^o-\frac{ABC}{2}=ACI\)

Δ ABH vuông tại H có: ABH + BAH = 90^o

=> BAH = 90^o - ABH

=> \(\frac{BAH}{2}=45^o-\frac{ABH}{2}=BAI\)

Lại có: IAC = BAC - BAI

=> IAC = 90^o - (45^o - \(\frac{ABH}{2}\))

=> IAC = 45^o + \(\frac{ABH}{2}\)

Xét Δ AIC có: AIC + IAC + ICA = 180^o (tổng 3 góc của Δ)

=> AIC + 45^o + \(\frac{ABH}{2}\) + 45^o - \(\frac{ABC}{2}\) = 180^o

=> AIC + 90^o = 180^o

=> AIC = 180^o - 90^o = 90^o (đpcm)