Question

cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, kẻ AH vuông góc vs BC ( H thuộc BC ). Các tia phân giác của các góc C và góc BAH cắt nhai tại I. Chứng minh rằng: góc AIC = 90 độ

Answer 1

Ta có hình vẽ:

Vì AI là phân giác của BAH nên \(BAI=HAI=\frac{BAH}{2}\)

CI là phân giác của BCA nên \(BCI=ACI=\frac{BCA}{2}\)

Δ ABC vuông tại A có: ABC + BCA = 90^o

=> BCA = 90^o - ABC

=> \(\frac{BCA}{2}=45^o-\frac{ABC}{2}=ACI\)

Δ ABH vuông tại H có: ABH + BAH = 90^o

=> BAH = 90^o - ABH

=> \(\frac{BAH}{2}=45^o-\frac{ABH}{2}=BAI\)

Lại có: IAC = BAC - BAI

=> IAC = 90^o - (45^o - \(\frac{ABH}{2}\))

=> IAC = 45^o + \(\frac{ABH}{2}\)

Xét Δ AIC có: AIC + IAC + ICA = 180^o (tổng 3 góc của Δ)

=> AIC + 45^o + \(\frac{ABH}{2}\) + 45^o - \(\frac{ABC}{2}\) = 180^o

=> AIC + 90^o = 180^o

=> AIC = 180^o - 90^o = 90^o (đpcm)