cho đường tròn (T) đường kính AB=2R trên tia đối của tia AB lấy điểm O sao cho A là trung điểm của OB trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại O lấy điểm M bất kì các tia MA,MB lần lượt cắt (T) tại điểm thứ hai là C và E
1 tia OE cắt (T) tại điểm thứ hai là F chứng minh OE.OF+BE.BM=16R^2
2 xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành
Cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm O sao
cho A là trung điểm của OB. Trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại O lấy điểm M bất kì. Các tia MA,MB lần lượt cắt (T) tại điểm thứ hai là C. và E.
1. Chứng minh bốn điểm O,A,E,M cùng nằm trên một đường tròn.
2. Tia OE cắt (T) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh OE.OF + BE.BM = 16R^2.
3. Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành.
cho đường tròn (O;R) coa đuòng kính AB cố định. trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. qua điểm C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O) không trùng với A và B. tia BM cắt đường thẳng d tại P, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là Q:
a) cm tứ giác ACPM nội tiếp và tính tích BM.BP theo R.
b) cm CA là tia phân giác của góc MCQ.
c) gọi H là giao điểm của CM và AP, cm PQ.AH=PH.AQ
d) cm trọng tâm G của tam giác CMB thuộc 1 đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O).
Tham khảo
https://asknlearn247.com/question/cho-duong-tron-o-r-duong-kinh-ab-co-dinh-tren-tia-doi-cua-tia-ab-lay-diem-c-sao-cho-ac-r-qua-c-k-2018212/
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ACP^=90° Hay BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
BMA^=BCP^=90°
PBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ CPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CA⏜)
Hay CPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ AQN^=CMA^ Hay PQN^=CMA^
Mà CPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ CPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ ˆAMB=90°AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ ˆAMP=90°AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ˆACP=90°ACP^=90° Hay ˆBCP=90°BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: ˆAMP+ˆACP=90°+90°=180°AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
ˆBMA=ˆBCP=90°BMA^=BCP^=90°
ˆPBCPBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABPBMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ ˆCPA=ˆCMACPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CACA⏜)
Hay ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ ˆAQN+ˆAMN=180°AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà ˆAMC+ˆAMN=180°AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ ˆAQN=ˆCMAAQN^=CMA^ Hay ˆPQN=ˆCMAPQN^=CMA^
Mà ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ ˆCPQ=ˆPQNCPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMODGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính R3R3
Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Lấy điểm M bất kì nằm trên đường tròn (O). Gọi P là giao điểm của MB và đường vuông góc với AB tại C. Chọn khẳng định đúng.
A. Tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp
B. Tam giác BCM vuông
C. Tam giác BCP có CM là đường trung tuyến.
D. Tất cả sai
Chọn đáp án A.
Ta có:
Do đó, tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I , tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. Chứng minh :
a, Tứ giắc MOHE nội tiếp
b, IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c, Đường thẳng ME đi qua điểm cố định
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn . Từ điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm) . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OH tại H , trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC=HB.
A,Chứng minh điểm C thuộc (O;R) và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
B,Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I , OI cắt BC tại IC. Chứng minh OH.OA=OI.OK=R^2
Chođường tròn (O) đường kính AB cố định .Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho AC=R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M bất kì trên đường tròn (O) không trùng với A,B.Tia BM cắt đường thẳng d tại P.Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.CMR: PC song song với NQ.
Cho (O; 2cm) có đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH=1cm. Kẻ đường thẳng d di qua H vuông góc với AB. Lấy M thuộc đường thẳng d sao cho HBM= 30°.MB cắt (O) tại Chứng minh rằng điểm H,A,E,M cùng nằm trên một đường tròn
1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2r.Trên nửa đường tròn lấy một điểm M bất kì. Gọi C là đối điểm đối xứng của của B qua M.Tìm quĩ tích của các điểm C.
2. Cho nửa đường tròn O đường kính AB=2r. Trên nửa đường tròn lấy một điểm M tùy ý. Vẽ tia Ax vuông góc AB. Gọi H,K thể thu từ hình chiếu trên AB,Ax. Khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn O thì trung điểm I của đường thẳng HK chuyển động trên đường nào?
3. Cho đường tròn O đường kính AB=2r. M là một điểm chuyển động trên đường tròn đó.Gọi G là trọng tâm của tam giác MAB. Tìm quĩ tích của các điểm G.
