a) P = 1 + 3 + 3² + ... + 3¹⁰¹

= (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁹⁹.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3⁹⁹.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3⁹⁹) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

b) B = 1 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁰

= (1 + 2² + 2⁴) + (2⁶ + 2⁸ + 2¹⁰) + ... + (2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰²⁰)

= 21 + 2⁶.(1 + 2² + 2⁴) + ... + 2²⁰¹⁶.(1 + 2² + 2⁴)

= 21 + 2⁶.21 + ... + 2²⁰¹⁶.21

= 21.(1 + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁶) ⋮ 21

Vậy B ⋮ 21

c) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

d) A = 1 + 4 + 4² + ... + 4⁹⁸

= (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) + ... + (4⁹⁷ + 4⁹⁸ + 4⁹⁹)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + ... + 4⁹⁷.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + ... + 4⁹⁷.21

= 21.(1 + 4³ + ... + 4⁹⁷) ⋮ 21

Vậy A ⋮ 21

e) A = 11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + ... + 11 + 1

= (11⁹ + 11⁸ + 11⁷ + 11⁶ + 11⁵) + (11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1)

= 11⁵.(11⁴ + 11³ + 11² + 11 + 1) + 16105

= 11⁵.16105 + 16105

= 16105.(11⁵ + 1)

= 5.3221.(11⁵ + 1) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

1. Tính tổng:

 Số số hạng có trong tổng là:

 (999-1):1+1=999 (số)

Số cặp có là:

 999:2=499 (cặp) và dư một số đó là số 500

Bạn hãy gộp số đầu và số cuối:

 (999+1)+(998+2)+.........+ . 499(số cặp) + 500 = 50400

Vậy tổng S1 = 50400

Mih sẽ giải tiếp nha

Số tự nhiên a sẽ chia hết cho 4 vì:

 36+12=48 sẽ chia hết co 4

Số a ko chia hết cho 9 vì:

 4+8=12 ko chia hết cho 9

TA tính như sau :ta tính số số hạng trước -->(999-1):1+1=999(SSH)

=>Tổng của dãy trên là :(1+999)x999:2=499500

Uk

2.

a, Có : 3 < 4 nên 3 x 111 < 4 x 111 => 333 < 444

=> A < B

câu 1,2 mình viết sai đề nhé bạn

Bài 1:

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7;5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\\ Vì:128^7>125^7\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2:

\(a,S=1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\\ =\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4.\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{96}.\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ =40+3^4.40+...+3^{96}.40\\ =40.\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\\ b,S=1+4+4^2+4^3+...+4^{62}\\ =\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{60}.\left(1+4+4^2\right)\\ =21+4^3.21+...+4^{60}.21\\ =21.\left(1+4^3+...+4^{60}\right)⋮21\)

Bài 1 :

\(2^{49}=\left(2^7\right)^7=128^7\)

\(5^{21}=\left(5^3\right)^7=125^7\)

mà \(125^7< 128^7\)

\(\Rightarrow2^{49}>5^{21}\)

Bài 2 :

a) \(S=1+3+3^2+3^3+...3^{99}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)...+3^{96}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(\Rightarrow S=40+40.3^4+...+40.3^{96}\)

\(\Rightarrow S=40\left(1+3^4+...+3^{96}\right)⋮40\)

\(\Rightarrow dpcm\)

b) \(S=1+4+4^2+4^3+...4^{62}\)

\(\Rightarrow S=\left(1+4+4^2\right)+4^3\left(1+4+4^2\right)+...4^{60}\left(1+4+4^2\right)\)

\(\Rightarrow S=21+4^3.21+...4^{60}.21\)

\(\Rightarrow S=21\left(1+4^3+...4^{60}\right)⋮21\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Bài 1:

a, a ϵ Ư(20) nên a ϵ {1; 2; 4; 5; 10; 20; -1; -2; -4; -5; -10; -20}.

Mà a > 4 nên a ϵ {5; 10; 20}

b, b ϵ B(5) nên b ϵ {...; -10; -5; 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; ...}

Mà b ≤ 35 nên b ϵ {...; -10; -5; 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35}

Bài 2:

a,

30 + 45 = 75, tổng chia hết cho 15.

40 + 5 + 300 = 45 + 300. Vì mỗi số hạng chia hết cho 15 nên tổng chia hết cho 15.

b,

Vì số bị trừ chia hết cho 15 mà số trừ không chia hết cho 15 nên các hiệu 1500 - 23; 450 - 31 không chia hết cho 15. 

145 + 5 - 17 = 150 - 17, số bị trừ chia hết cho 15 nhưng số trừ không chia hết cho 15 nên 145 + 5 - 17 không chia hết cho 15.

Bài 3:

a, Để A chia hết cho 6 thì x chia hết cho 6 (do các số hạng chia hết cho 6).

b, Từ câu a, suy ra để A không chia hết cho 6 thì x không chia hết cho 6.

Bài 4:

a, Tích 40.7.25 chia hết cho 8 vì 40 chia hết cho 8.

b, Tích 32.19.28 chia hết cho 8 vì 32 chia hết cho 8.

c, 4.35.2.39 = 8.35.39, tích này chia hết cho 8 vì 8 chia hết cho 8.

d, 14.27.4.15 = 56.27.15, tích này chia hết cho 8 vì 56 chia hết cho 8.

Bài 5: Tích A = 2.4.6...10.12 = (2.4.10).6.8.12 = 80.6.8.12, suy ra tích A chia hết cho 80 vì 80 chia hết cho 80.

Bài 6:

a, Tổng 2.4.6.8.10 + 310 chia hết cho 10 vì các số hạng chia hết cho 10.

b,1.2.3.4.5 + 230 = 10.3.4 + 230, tổng chia hết cho 10 vì các số hạng chia hết cho 10.

c, Xét 3.5.7.9 + 25, tổng này chia hết cho 5 vì mỗi số hạng chia hết cho 5, và tổng cũng chia hết cho 2 vì tổng này bằng tổng của 2 số lẻ. Do đó 3.5.7.9 + 25 chia hết cho 10.

Lại có 50 chia hết cho 10 nên 3.5.7.9 + 25 + 50 chia hết cho 10.

Bài 7: bỏ qua

Bài 8: Cho A= 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + ...+ 4^12.Chứng minh rằng:

a, A chia hết cho 4 vì mỗi số hạng chia hết cho 4.

b,

\(A=4+4^2+...+4^{12}=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{11}+4^{12}\right)\)

\(A=4\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+...+4^{11}\left(1+4\right)=\left(4+4^2+...+4^{11}\right)5\)

Do đó A chia hết cho 5.

c,

\(A=4+4^2+...+4^{12}=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{10}+4^{11}+4^{12}\right)\)

\(A=4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{10}\left(1+4+4^2\right)=\left(4+4^4+...+4^{10}\right)21\)

Do đó A chia hết cho 21.

Bài 9:

2 ⋮ x 

x ϵ Ư(2) hay x ϵ {1; 2; -1; -2}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {1; 2}

2 ⋮ (x + 1)

(x + 1) ϵ Ư(2) hay (x + 1) ϵ {1; 2; -1; -2}

x ϵ {0; 1; -2; -3}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {0; 1}

2 ⋮ (x + 2)

(x + 2) ϵ Ư(2) hay (x + 2) ϵ {1; 2; -1; -2}

x ϵ {-1; 0; -3; -4}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {0}

2 ⋮ (x - 1)

(x - 1) ϵ Ư(2) hay (x - 1) ϵ {1; 2; -1; -2}

x ϵ {2; 3; 0; -1}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {2; 3; 0}

2 ⋮ (x - 2)

(x - 2) ϵ Ư(2) hay (x - 2) ϵ {1; 2; -1; -2}

x ϵ {3; 4; 1; 0}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {3; 4; 1; 0}

2 ⋮ (2 - x)

(2 - x) ϵ Ư(2) hay (2 - x) ϵ {1; 2; -1; -2}

x ϵ {1; 0; 3; 4}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {1; 0; 3; 4}

6 ⋮ x

x ϵ Ư(6) hay x ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {1; 2; 3; 6}

6 ⋮ (x + 1)

(x + 1) ϵ Ư(6) hay (x + 1) ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

x ϵ {0; 1; 2; 5; -2; -3; -4; -7}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {0; 1; 2; 5}

6 ⋮ (x + 2)

(x + 2) ϵ Ư(6) hay (x + 2) ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

x ϵ {-1; 0; 1; 4; -3; -4; -5; -8}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {0; 1; 4}

6 ⋮ (x - 1)

(x - 1) ϵ Ư(6) hay (x - 1) ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

x ϵ {2; 3; 4; 5; 0; -1; -2; -5}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {2; 3; 4; 5; 0}

6 ⋮ (x - 2)

(x - 2) ϵ Ư(6) hay (x - 2) ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

x ϵ {3; 4; 5; 6; 1; 0; -1; -4}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {3; 4; 5; 6; 1; 0}

6 ⋮ (2 - x)

(2 - x) ϵ Ư(6) hay (2 - x) ϵ {1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6}

x ϵ {1; 0; -1; -4; 3; 4; 5; 8}, vì x là số tự nhiên nên x ϵ {1; 0; 3; 4; 5; 8}

a)

Ta có : A = 27⁵ = (3³)⁵ = 3¹⁵

            B = 243³ = (3⁵)³ = 3¹⁵

Vì 3¹⁵ = 3¹⁵ => A = B

b )

Ta có : A = 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

            B = 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ => A<B

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6