Vì p là số nguyên tố lẻ nên p>1.ĐKXĐ m,n khác 0.

Ta có: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p}=\left(\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}\right)\Leftrightarrow\)\(\left(m^2+n^2\right)p=m^2n^2\)   \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2n^2-m^2p-n^2p+p^2=p^2\Leftrightarrow\left(m^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)  \(\left(2\right)\)

Từ (1) ta được m hoặc n chia hết p.Giả sử m chia hết cho p. Đặt m²=a²p² ( a khác 0) nên (2) \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a^2p^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2p-1\right)\left(n^2-p\right)=p\)

Vì a khác 0 nên a²>0 a²p chia hết p . Vì p>2 nên a²p-1 không chia hết cho p.

Vậy n²-p chia hết cho p nên n chia hết cho p . Đặt n=bp.

Dựa pt đầu ta có \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2p^2}+\frac{1}{b^2p^2}\Leftrightarrow1=\frac{1}{a^2p}+\frac{1}{b^2p}\)

nên a²p=2 và b²p=2 nên vô lý

Ta có: \(2\left(m^2+n^2\right)-1=2\left(m^2+n^2+2mn\right)-1-4mn=2\left(m+n\right)^2-1-4mn\)

\(=2\left[\left(m+n\right)^2-1\right]-4mn+1=2\left(m+n-1\right)\left(m+n+1\right)-4mn+1-4m^2-4m+4m^2+4m\)

\(=2\left(m+n+1\right)\left(-m+n-1\right)+\left(2m+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2m+1\right)^2⋮\left(m+n+1\right)\)mà \(m+n+1\)nguyên tố nên \(2m+1⋮m+n+1\)

do \(m,n\)nguyên dương suy ra \(2m+1\ge m+n+1\Leftrightarrow m\ge n\).

Một cách tương tự ta cũng suy ra được \(n\ge m\).

Do đó \(m=n\).

Khi đó \(mn=m^2\)là một số chính phương. 

thank you

Bạn tham khảo bài của Đinh Tuấn Việt ở Câu hỏi của Tài Nguyễn Tuấn - Chuyên mục hỏi đáp - Giúp tôi giải toán. - Học toán với OnlineMath

\(m;n\in N\Rightarrow m;n\ge0\)

\(p\) là số nguyên tố

Thỏa mãn \(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\Leftrightarrow p^2=\left(m-1\right)\left(m+n\right)\)

Do \(\left(m-1\right)\) và \(\left(m+n\right)\) là các ước nguyên dương của \(p^2\)

Lưu ý: \(m-1< m+n\left(1\right)\)

Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p^2\)chỉ có các ước nguyên dương là \(1,p\) và \(p^2(2)\)

Từ \((1)\) và \(\left(2\right)\) ta có \(m-1=1\) và \(m+n=p^2\)

\(\Rightarrow m=2\) và\(2+n=p^2\)

Vậy\(A=p^2-n=2\)