Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm). Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng AM//CN.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90 °
Suy ra: NM ⊥ MC
Mà OA ⊥ MN (chứng minh trên)
Suy ra: OA // MC
Cho đường tròn (O), đểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm) a) Chứng minh: OAMN b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC // AO c) Tính chu vi AMN biết OM= 3cm và OA = 5cm
a) Xét (O) có
AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)
AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)
Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: AM=AN(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: OM=ON(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN
hay AO⊥MN(đpcm)
b) Xét (O) có
ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))
NC là đường kính
Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)
⇒MN⊥MC
Ta có: MN⊥MC(cmt)
MN⊥AO(cmt)
Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:
\(OA^2=OM^2+MA^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)
hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)
mà AM=AN(cmt)
nên AN=4cm
Gọi H là giao điểm của MN và AO
mà MN⊥AO tại trung điểm của MN
nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:
\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)
\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)
hay MH=2,4cm
mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)
nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)
Chu vi tam giác AMN là:
\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng \(OA\perp MN\)
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm
a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A
OA là tia phân giác cũng là đường cao
\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)
b) đặc H là giao điểm của MN và AO
ta có MH = HN (OA \(\perp\) MN \(\Rightarrow\) H là trung điểm MN)
mà CO = CN = R
\(\Rightarrow\) OH là đường trung bình của tam giác MNC
\(\Rightarrow\) OH // MC \(\Leftrightarrow\) MC // OA (đpcm)
c) OM = ON = R \(\Rightarrow\) ON = 3 (cm)
ta có : ON2 + AN2 = AO2 (pytago) \(\Rightarrow\) AN2 = AO2 - ON2
= 52 - 32 = 25 - 9 = 16 \(\Rightarrow\) AN = \(\sqrt{16}=4\) (cm)
ta có : AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng)
\(\Rightarrow\) 5HN = 4.3 = 12 \(\Rightarrow\) HN = \(\dfrac{12}{5}=2,4\) (cm)
ta có MN = 2HN = 2.2,4 = 4,8 (H là trung điểm MN)
vậy AM = AN = 4(cm) ; MN = 4,8(cm)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng OA ⊥ MN
Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác AMN cân tại A
Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)
Vậy OA ⊥ MN.
Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AM , AN đường tròn ( MN là tiếp điểm ) .
A , Chứng minh OA với MN .
B , Vẻ đường kính NOC ,Chướng minh rằng MR // AO
C , Tính độ dài các cạnh tam giác AMN biết OM = 3cm , 5cm .
Cho sửa lại đề tí ==* , câu b) là c/m MR // AO => MC // AO :>
a. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác AMN cân tại A
Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN ( tính chất tam giác cân )
Vậy \(OA\perp MN\)
b. Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90o
Suy ra: \(NM\perp MC\)
Mà \(OA\perp MN\)(chứng minh trên)
Suy ra: OA // MC
c. Ta có: \(AN\perp NC\) (tính chất tiếp tuyến)
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :
AO2 = AN2 + ON2
Suy ra : AN2 = AO2 – ON2 = 52 – 32 = 16
AN = 4 (cm)
Suy ra: AM = AN = 4 (cm)
Gọi H là giao điểm của AO và MN
Ta có: \(MH=NH=\frac{MN}{2}\) (tính chất tam giác cân)
Tam giác AON vuông tại N có \(NH\perp AO\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
OA . NH = AN . ON => \(NH=\frac{\left(AN.ON\right)}{AO}=\frac{\left(4.3\right)}{5}=2,4\)
MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)
Vậy .....................
Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AM , AN đường tròn ( MN là tiếp điểm )
a, Chứng minh OA với MN
b, Vẻ đường kính NOC . Chướng minh rằng MR // AO
c, Tính độ dài các cạnh tam giác AMN biết OM = 3cm , OA = 5cm
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kể tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nối tiếp.
b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) ( Tia AO nằm giữa AM và AC ). Chứng minh rằng: AM\(^2\)= AB. AC
c) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Chứng minh rằng HN là tia phân giác của BHC.
a, Vì AM; AN lần lượt là tiếp tuyến đường tròn (O) với M;N là tiếp điểm
=> ^AMO = ^ANO = 900
mà AM = AN (tc tiếp tuyến cắt nhau) ; OM = ON = R
Vậy OA là đường trung trực đoạn MN => OA vuông MN
Xét tứ giác AMON có
^AMO + ^ANO = 1800
mà 2 góc này đối Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn
b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có
^A _ chung ; ^AMB = ^ACB ( cùng chắn cung BM )
Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g)
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AM^2=AB.AC\)
c, Xét tam giác OMA vuông tại M, đường cao MH
Ta có \(AM^2=AH.AO\)( hệ thức lượng )
=> \(AB.AC=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\)
Xét tam giác ABH và tam giác AOC có
^A _ chung
\(\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}\left(cmt\right)\)
Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c)
=> ^ABH = ^AOC ( góc ngoài đỉnh B )
Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn
d, Ta có BHOC nt 1 đường tròn (cmc)
=> ^OHC = ^OBC (góc nt chắc cung CO)
=> ^AHB = ^ACO (góc ngoài đỉnh H)
mà ^OCB = ^OBC do OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O
=> ^OHC = ^AHB
mà ^CHN = 900 - ^OHC
^NHB = 900 - ^AHB
=> ^CHN = ^NHB
=> HN là phân giác của ^BHC
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kể tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nối tiếp.
b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) ( Tia AO nằm giữa AM và AC ). Chứng minh rằng: AM2= AB. AC
c) Gọi H là giao điểm của AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
d) Chứng minh rằng HN là tia phân giác của góc BHC.
a, Ta có AM ; AN lần lượt là tiếp tuyến (O)
=> ^AMO = ^ANO = 900
Xét tứ giác AMON có ^AMO + ^ANO = 1800
mà 2 góc này đối
Vậy tứ giác AMON là tứ giác nt 1 đường tròn
b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM ta có
^A _ chung ; ^AMB = ^ACM ( cùng chắn BM )
Vậy tam giác AMB ~ tam giác ACM (g.g)
c, Ta có AM = AN ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
ON = OM = R => OA là đường trung trực đoạn MN
Xét tam giác AMO vuông tại M, đường cao MH
=> AM^2 = AH.AO
=> AB . AC = AH . AO => AB/AO = AH/AC
Xét tam giác ABH và tam giác AOC có
^A _ chung ; AB/AO = AH/AC (cmt)
Vậy tam giác ABH ~ tam giác AOC (c.g.c)
=> ^ABH = ^AOC ( mà ^ABH là góc ngoài đỉnh B )
Vậy tứ giác BHOC là tứ giác nt 1 đường tròn
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M,N là 2 tiếp điểm ). Kẻ cát tuyến ABC không đi qua O (B nằm giữa A và C ) gọi H là trung điểm của BC
a) chứng minh rằng các điểm o,h,m,a,n cùng thuộc 1 đường tròn
b) chứng minh HA là tia phân giác góc MHN