Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P và Hy vuông góc với AC tại Q. Trên tia Hx và Hy lần lượt lấy D và E sao cho PH=PD, QH=QE.
Cm: a, A là trung điểm của DE
b, PQ= 1/2DE
c, PQ=AH
a)Ta có : CA vuông góc AB(gt) và HP vuông góc AB(gt) => CA //HP => góc PHA=góc HAQ(so le trong).
Xét tam giác vuông AHP và tam giác vuông HAQ có:
Cạnh HA chung
góc PHA=góc HAQ(cmt)
Do đó: tam giác AHP=tam giác HAQ(cạnh huyền-góc nhọc).
=> HP=AQ(hai cạnh tương ứng) và AP=HQ(hai cạnh tương ứng).
Ta có : PH=PD(gt) và PH=AQ(cmt) nên PD=AQ
QH=QE(gt) và HQ=AP(cmt) nên QE=AP
Xét hai tam giác vuông DPA và tam giác vuông AQE có:
PD=AQ(cmt)
QE=AP(cmt)
Do đó:tam giác DPA=tam giác AQE(hai cạnh góc vuông)
=>AD=AE(hai cạnh tương ứng)
hay A là trung điểm của DE>
b)Trong tam giác HDE có : P là trung điểm DH và Q là trung điểm HE => PQ là đường trung bình => PQ=1/2DE.
c)Tam giác HDE có PQ là đường trung bình => PQ=1/2DE=DA (1).
Trong tam giác ADH có AP là trung tuyến(PD=PH) đồng thời AP là đường cao=>Tam giác ADH cân=>AD=AH (2).
Từ (1) và (2), suy ra PQ=AH.
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông với BC . Từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P và trên Hx lấy 1 điểm D sao cho P là trung điểm của HD. Từ H kẻ Hy vuông góc AC tại Q và trên Hy lấy một điểm E sao cho Q là trung điểm của HE
a) CM: 3 điểm D,A,E thẳng hàng
b) CM: PQ // DE
C) PQ= AH
Cho tam giác ABC có góc A < 90 độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ AD vuông góc với AB và AD = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE vuông góc với AC và AE = AC. Kẻ AH vuông góc với ED tia AH cắt BC tại M. chứng minh M là trung điểm của BC
Cho tam giác cân ABC, AB=AC, góc A<90 độ. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia AB vẽ tia Ax vuông góc với AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa tia AC vẽ tia Ay vuông góc với AB. Ax và Ay lần lượt cắt đường thẳng BC tại P và Q. PE cắt AQ tại M, QF cắt AP tại N.
a)chứng minh BN=CM
b)chứng minh MN//EF
c)Gọi I là giao điểm của PM và QN, kéo dài AI cắt BC tại H. Chứng minh CP^2-CH^2=2.AH^2+HP^2
Cho tam giác ABC, góc A=90 độ ,vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC).Vẽ qua H đường thẳng vuông góc với AB tại I và trên tia đối của tia IH lấy M sao cho IM = IH . Vẽ qua H đường thẳng vuông góc với AC tại J và trên tia đối của tia JH lấy điểm N sao cho JN = JH . Chứng minh rằng 3 điểm M , A , N thẳng hàng .
Bài 4(5,25 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC ( H = BC).
Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vẽ DE, DK lần lượt vuông góc với BC và AH
(E thuộc BC, K thuộc AH).
a) So sánh các đoạn thẳng AH và AB.
b) Chứng minh AK = BH.
c) Vẽ đường phân giác của góc BAC cắt BC tại M, chứng minh AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD
d) Tính số đo góc EAH.
e) Với giả thiết AC = 2AB; Chứng minh các đường thẳng AE, HD, CK cùng đi qua một điểm.
a: ΔAHB vuông tại H
=>AH<AB
b: Xét ΔKAD vuông tại K và ΔHBA vuông tại H có
AD=BA
góc KAD=góc HBA
=>ΔKAD=ΔHBA
=>KD=HB và AK=BH
cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ là BC vẽ các tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC. Lấy M thuộc cạnh BC ( M khác A và B); đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt Bx, Cy lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh: BM=CK
b, chứng minh A là trung điểm của HK
c, Gọi P là giao điểm của AB và MH, Q là giao điểm của AC và MK. chứng minh PQ // BC
cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ là BC vẽ các tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC. Lấy M thuộc cạnh BC ( M khác A và B); đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt Bx, Cy lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh: BM=CK
b, chứng minh A là trung điểm của HK
c, Gọi P là giao điểm của AB và MH, Q là giao điểm của AC và MK. chứng minh PQ // BC
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d . Vẽ BH và CK cùng vuông góc với d ( H và K thuộc d ) . Trên AB và AC lấy D và E sao cho AD = AE . Qua D và A ve đường thẳng vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại I và J .
a, cm AH = CK
b. gọi M là trung điểm của BC . xác định dạng của tam giác MHK
c.Cm IJ=JC
d. Lấy điểm N bất kỳ thuộc AC . Gọi P và Q thứ tự là trung điểm của BN và AC. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với PQ . Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC chúng cắt nhau tại S. Tính goc SNC
