a, Xét tam giác HFB và tam giác HEC 

^BHF = ^CHE ( đối đỉnh )

^HFB = ^HEC = 90⁰

Vậy tam giác HFB ~ tam giác HEC ( g.g ) (1) 

\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{HF}{HE}\)( tỉ số đồng dạng ) \(\Rightarrow HB.HE=HF.HC\)

b, Xét tam giác HFB và tam giác AEB ta có : 

^B _ chung 

^HFB = ^AEB = 90⁰

Vậy tam giác HFB ~ tam giác AEB (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : tam giác AEB ~ tam giác HEC 

\(\Rightarrow\frac{AE}{HE}=\frac{EB}{EC}\)( tỉ số đồng dạng ) \(\Rightarrow AE.EC=EB.HE\)

a: Xét ΔHFA vuông tại F và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{FHA}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFA~ΔHDC

=>\(\dfrac{HF}{HD}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HD\cdot HA\left(1\right)\)

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHFB~ΔHEC
=>\(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{HB}{HC}\)

=>\(HF\cdot HC=HB\cdot HE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HA\cdot HD=HF\cdot HC=HB\cdot HE\)

c: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD là tứ giác nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ECB}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(ECDH là tứ giác nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABD}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED

Xét ΔFED có

EH,FH là các đường phân giác

Do đó: H là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔFED

Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔFHB\(\sim\)ΔEHC

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH\(\sim\)ΔBEC
Suy ra: BD/BE=BH/BC

hay \(BD\cdot BC=BE\cdot BH\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CH\cdot CF\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)

a)Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

\(\widehat{AFC}=\widehat{AEB}\)

\(\widehat{A}\) chung

=> tam giác ABE và tam giác ACF đồng dạng

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{FC}{BE}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AF.AB=AE.AC\)

đó vậy là xong ý a rồi những ý khác tương tự. Bạn phải biết cách chọn tỉ số chính xác ở bài toán này nhá :3

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc EAB chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC
=>AE*AC=AB*AF
b: Xét ΔHFB vuông tại Fvà ΔHEC vuông tại E có

góc FHB=góc EHC

=>ΔHFB đồng dạng vơi ΔHEC
=>HF/HE=HB/HC

=>HF*HC=HB*HE

c: Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có

góc FBH chung

=>ΔBFH đồng dạng với ΔBEA

=>BF/BE=BH/BA

=>BF*BA=BH*BE

d: Xét ΔCEH vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có

góc ECH chung

=>ΔCEH đồng dạng với ΔCFA

=>CE/CF=CH/CA

=>CE*CA=CF*CH

Đây là 1 trường hợp của BĐT hình học quan trọng: BĐT Erdos-Mordell

Cách chứng minh bài này y hệt như cách người ta chứng minh BĐT nói trên.

Có khoảng gần 20 cách gì đó, em kiếm trên google thử coi, vì BĐT này quá quen thuộc rồi nên mình sẽ ko chứng minh lại ở đây.

a, ta có √(9²+12²)=15 nên theo định lý đảo của định lý pitago => ∠BAC=90 độ

Xét △ADB và △CAB có:

∠BAC=∠BDA(=90 độ), ∠ACB chung => △ADB ∼ △CAB (g.g) (1)

b, BE là đường phân giác của △ABC => \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BC}{EC}\)

Gọi AE= x (cm) => EC=12-x (cm)

Ta có: \(\dfrac{9}{x}=\dfrac{15}{12-x}\)=> 108-9x=15x =>108=24x => x=4,5 

Vậy EA=4,5 cm, EC=12-4,5=7,5 cm

c, Xét △CAB và △CDA có:

∠BCD chung, ∠ADC=∠BAC(=90 độ) => △CAB ∼ △CDA (g.g) (2)

Từ (1),(2) => △ADB ∼ △CDA (T/c bắc cầu)

=> \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{DB}{AD}\) => AD²=BD.DC

d, S_ABC=\(\dfrac{1}{2}.AB.AC\)=\(\dfrac{1}{2}AD.BC\)

=> AB.AC=AD.BC => AD = \(\dfrac{9.12}{15}\)=7,2 cm

Áp dụng định lí Pitago vào △ADC vuông tại D:

AC²=AD²+DC² => DC=√[12²-(7,2)²]=9,6 cm

=> BD=BC-DC=15-9,6=5,4 cm

BI là đường phân giác của △ABD => \(\dfrac{AB}{AI}=\dfrac{BD}{DI}\)

Gọi ID=y (cm) => AI=7,2-y (cm)

Ta có: \(\dfrac{9}{7,2-y}=\dfrac{5,4}{y}\)=> 9y=38,88-5,4y => 14,4y=38,88 => y = 2,7

Nên ID=2,7 cm

Đây mới đúng hình nè