Đặt \(3n^3+3n-101=a^3\)

\(\Leftrightarrow3n\left(n+1\right)-101=a^3\)

Thấy \(3n\left(n+1\right)\) là số chẵn,\(101\) lẻ nên \(n^3\) là số lẻ

Đặt \(n=2k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n\right)-101=8k^3+12k^2+6k+1\)

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8k^3+12k^2+6k\)

Thấy VT chia hết cho 3;\(12k^2+6k\) chia hết cho 3 nên \(8k^3\) chia hết cho 3

Mà \(\left(8;3\right)=1\Leftrightarrow k⋮3\)

Đặt \(k=3m\) ta có:

\(\Leftrightarrow3\left(n^2+n-34\right)=8\cdot27m^3+12\cdot9m^2+6\cdot3m\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-34=6\left(12m^3+6m^2+m\right)\)

Nếu n chia hết cho 3 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 1 thì VT chia 3 dư 1 trong khi đó VP chia hết cho 3 ( loại )

Nếu m chia 3 dư 2 thì VT chia 3 dư 2 trong khi đó VP chia hết cho 3  ( loại )

Vậy không tồn tại n nguyên thỏa mãn đề bài.

Gọi ước chung lớn nhất của n - 5 và 3n - 14 là d, ta có

3 ( n - 5) - ( 3n - 14)= -1 chia hết cho d

=> d = -1 hoặc 1, do đó n - 5 và 3n - 14  là nguyên tố cùng nhau

vậy n - 5/3n - 14 là phân số tối giản

123456789q

Không trả lời thì thôi !!! Đừng có mà trả lời lung tung

Để 3n+2/4n-5 là số nguyên => 3n+2 chia hết cho 4n-5

=> 4(3n+2) chia hết cho 4n-5

=> 12n+8 chia hết cho 4n-5

=> 3(4n-5)+23 chia hết cho 4n-5

=> 23 chia hết cho 4n-5

=> 4n-5 thuộc Ư(23)={1;-1;23;-23}

Bạn chia TH ra sẽ ra là 1 và 7 nhé (sau khi đã loại các TH là phân số)

Vào link này lập nik lazi nhé

https://lazi.vn/users/dang_ky?u=kieu-anh.pham4