\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\le\sqrt{2\left(x-7+9-x\right)}=2\\x^2-16x+66\ge2\end{cases}}.Dau"="?\)

ĐK: \(7\le x\le9\)

Áp dụng bunhiacopxki ta có:

\(\left(1.\sqrt{x-7}+1.\sqrt{9-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-7+9-x\right)=4\)

=> \(\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\le2\)(1)

Mặt khác: \(x^2-16x+66=x^2-2.x.8+64+2=\left(x-8\right)^2+2\ge2\)

=> \(x^2-16x+66\ge2\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\le x^2-16x+66\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\hept{\begin{cases}x^2-16x+66=2\\\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(x-8\right)^2=0\\\frac{\sqrt{x-7}}{1}=\frac{\sqrt{x-9}}{1}\end{cases}\Leftrightarrow}x=8\) ( tm đk)

Vậy x = 8.

Đk:\(7\le x\le9\)

Áp dụng Bđt Bunhiacopski cho VT ta có:

\(VT^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-7+9-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT\le2\) (1)

\(VP=x^2-16x+64+2=\left(x-8\right)^2+2\ge2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT=VP=2\)

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=2\\x^2-16x+66=0\end{cases}}\Rightarrow x=8\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất là x=8

Điều kiện xác định : \(7\le x\le9\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki vào vế trái : 

\(\left(1.\sqrt{x-7}+1.\sqrt{9-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-7+9-x\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\le2\)

Xét vế phải : \(x^2-16x+66=\left(x^2-16x+64\right)+2=\left(x-8\right)^2+2\ge2\)

Suy ra pt tương đương với \(\begin{cases}\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=2\\x^2-16x+66=2\end{cases}\) <=> x = 8

Vậy pt có nghiệm x = 8

\(VT\)

\(A=\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\)

\(\Rightarrow A^2=2+2\sqrt{\left(x-7\right)\left(9-x\right)}\le2+\left(x-7\right)+\left(9-x\right)=4\)

\(\Rightarrow A\le2\)

\(VP\)

\(B=\left(x-8\right)^2+2\ge2\)

Theo đề bài , \(A=B\Rightarrow A=B=2\)

Do đó \(x-7=9-x\Leftrightarrow x=8\)

Vậy \(x=8\)

P/s tham khảo nha

Tham khảo: https://olm.vn/hoi-dap/detail/254086442152.html