a)
tam giác ADB có M là trung điểm của AD N là trung điểm của BD
=> MN là đường trung bình của tam giác ADB
=> MN//AB
mà AB//CD=> MN//CD        (1)
tam giác DBC có N là trung điểm của BD , Q là trung điểm của BC
=> NQ là đường trung bình của tam giác
=> NQ//CD           (2)
tam giác ADC có M là trung điểm của AD , P là trung điểm của AC
=> MP là đường trung bình 
=> MP//CD  (3)
từ (1),(2),(3)=> M,N,P,Q thẳng hàng

Bạn tự vẽ hình 

a)*ta có M là trung điểm của AB

             N là trung điểm của BC

Suy ra: MN là đường trung bình của tam giác ABC

   *ta có N là trung điểm của BC

            P là trung điểm của DC

Suy ra : NP là đường trung bình của tam giác BCD

b)ta có Q là trung điểm của AD

            P là trung điểm của DC

Suy ra PQ là đường trung bình của tam giác ADC

=>PQ song song với AC;PQ=\(\frac{AC}{2}\)

mà MN song song với AC;MN=\(\frac{AC}{2}\)(MN là đường trung bình của tam giác ABC)

nên: PQ song song MN;PQ=MN

Suy ra MNPQ là hình binh hành(1)

ta lại có : AD=BC(ABCD là hình thang cân) 

=>AQ=BN=QD=NC(Q,N lần lượt là trung điểm của AD,BC)

Xét tam giác MNB và tam giác MQA

BN=AQ (chứng minh trên)

MB=MA(M là trung điểm của AB)

góc MAQ=góc MBN

Suy ra tam giác MNB=tam giác MQA(c-g-c)

=>MQ=MN( 2 cạnh tương ứng )(2)

Từ (1) và (2) suy ra :

MNPQ là hình thoi

=> MP vuông góc NQ

a) xét tam giác BAD ta có:

M là trung điểm AB (gt)

F là trung điểm BD (gt)

vậy MF là đường trung bình tam giác BAD

=>MF//AD và MF=1/2 AD (1)

xét tam giác ADC ta có:

P là trung điểm CD (gt)

E là trung điểm AC (gt)

vậy PE là đường trung bình tam giác ADC

=>PE//AD và PE=1/2 AD (2)

từ (1) và (2) => PE//MF và PE=MF=1/2 AD

tương tự như vậy với ME và PF ta có được ME//PF và ME=PF=1/2 BC

ta có:

ME=PF=1/2 BC (cmt)

MF=PE=1/2 AD (cmt)

AD=BC (gt)

vậy ME=PF=MF=PE 

=>MEPF là hình thoi

b) vẽ tứ giác MQPN. gọi giao điểm QN và MP là K

xét tam giác ABD ta có:

Q là trung điểm AD (gt)

M là trung điểm AB (gt)

vậy MQ là đường trung bình tam giác ABD

=> MQ//BD và MQ=1/2 BD (1)

xét tam giác CBD ta có:

P là trung điểm CD (gt)

N là trung điểm BC (gt)

vậy PN là đường trung bình tam giác CBD

=> PN//BD và PN=1/2 BD (2)

từ (1) và (2)=> PN//MQ và PN=MQ

=>MQPN là hình bình hành

mà QN và MP là hai đường chéo và K là giao điểm

=>K là trung điểm của QN và MP (3)

xét hình thoi MEPF ta có:

MP và EF là hai đường chéo

K là trung điểm MP (cmt)

=> K là trung điểm EF (4)

từ (3) và (4)=> QN,MP,EF đồng quy tại K.

bài này khá đơn giản nên bạn tự vẽ hình nha !

Câu 2: 

a: Xét ΔAME có

I là trung điểm của AM

ID//ME

Do đó: Dlà trung điểm của AE

=>AD=DE(1)

Xét ΔBDC có

M làz trung điểm của BC

ME//BD

Do đó: E là trung điểm của CD

=>DE=EC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD=DE=EC

b: Xét ΔAME có ID//ME

nên ID/ME=AD/AE
=>ID/ME=1/2

=>hay ME=2ID

Xét ΔBDC có ME//BD

nên ME/BD=CE/CD

=>ME/BD=1/2

=>ME=1/2BD

=>2ID=1/2BD

hay DI=1/4BD