Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{3}{2}\)

____

\(x+2y=8\Leftrightarrow x=8-2y\)

\(B=xy=y\left(8-2y\right)\)

\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y\right)\)

\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y+4-4\right)\)

\(\Leftrightarrow B=-2\left[\left(y-2\right)^2-4\right]=8-2\left(y-2\right)^2\le8\forall y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=4\end{matrix}\right.\)

Bài 2 :

a) \(P=x^2+y^2+xy+x+y\)

\(2P=2x^2+2y^2+2xy+2x+2y\)

\(2P=x^2+2xy+y^2+x^2+2x+1+y^2+2y+1-2\)

\(2P=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2}{2}\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-1\le-1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x+1=0\\y+1=0\end{cases}}\)

Mình nghĩ đề phải là tìm GTLN của \(P=x^2+y^2+xy+x-y\)hoặc đổi dấu x và y thì dấu "=" mới xảy ra đc

@ Phương ơi ! Cái dòng \(P=\)cuối ấy . Chỗ đấy là \(\ge-1\)em nhé!

 1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz 

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a) 

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: 
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) 
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² 
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 
<--> x² + y² + z² ≥ 3 
--> M ≥ 3 
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

b) 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )² <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a² + b² )( x² + Y² )

Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.

Ta có: ( x + 2y )² <= ( 1² + (căn2)² ) ( x² + ( căn 2 )²y² )

=> 1 <= 3 ( x² + 2y² )

=> x² + 2y² >= 1/3

Bài 1: Sử dụng phép thế

Có x - y = 2 => x = 2 + y

Thay x = 2 + y vào các biểu thức cần tính

Bài 2:

\(P=9-2\left|x-3\right|\le9\) dấu bằng <=> x = 3

\(Q=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=6\) dấu bằng <=> \(\left(x-2\right)\left(8-x\right)\ge0\)

mk ngu đại số lắm sorry nha Nhưng nếu hình thì mk giải đc

Chắc đây là bài lp 7 ko?

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²

cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1