\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2016}}\)

\(2A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2015}}\)

\(2A-A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2015}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2016}}\right)\)

\(A=1-\frac{1}{2^{2016}}< 1\)

i

a) M = 1 + 2 + 2² + 2³ + ..... + 2²⁰¹⁹

= ( 1 + 2 + 4 ) + 2³( 1 + 2 + 4 ) +.... + 2²⁰¹⁶ ( 1 + 2 + 4 ) 

=  7 ( 1 + 2³ + 2²⁰¹⁶ )  chia hết cho 7 (đpcm)

b)  M + 1 = 1 + 1 + 2 + 2² + 2³ +... + 2²⁰¹⁹

               =  4 + 2²  + 2 ³ + .....2²⁰¹⁹

                =  2 x 2² + 2³  + .... + 2²⁰¹⁹

                = 2 x 2³  + .... +  2²⁰¹⁹  

                 = 2 x 2 ²⁰¹⁹ 

                     = 2²⁰²⁰

Có A=1+ 1/2+1/3+... +1/2^10-1

<=> 2-1+1-1/2+1/2-1/3+...- 1/2^10-1

<=> 2-1/2^10-1

Mà 1/2^10-1 < 1 => 2-1/2^10-1 <2

=> A<10

thanhks

\(A=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{10}\left(1+2\right)=3+2^2.3+...+2^{10}.3=3\left(1+2^2+...+2^{10}\right)⋮3\)

\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{10}+2^{11}\)

\(=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{10}\left(1+2\right)\)

\(=\left(1+2\right)\left(1+2^2+...+2^{10}\right)\)

\(=3\left(1+2^2+...+2^{10}\right)\) ⋮3

\(\frac{1}{3}A=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^3+...+\left(\frac{1}{3}\right)^{2017}\)

\(A-\frac{1}{3}A=\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2017}\)

\(A=\frac{2}{3}\left[\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2017}\right]\)

\(A=\frac{2}{9}-\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\right)^{2017}\)

\(\frac{2}{9}< \frac{1}{2};\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\right)^{2017}>0\Rightarrow A< \frac{1}{2}\)