Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b là các số dương thỏa mãn a.b=4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)
Vì (a-b)2 \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a2+b2 \(\ge\)8.
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)
Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)
\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\)
Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)
\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)
Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Có cách UCT :)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{27\left(a-2\right)^2}{2\left(a-6\right)^2}\ge0\)(luôn đúng)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế..
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
Đó nhớ cho mình nha
Xem thêm câu trả lời
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Pdfrac{left(x+1right)^6}{left(x^3+7right)left(x^3+3x^2+4right)}. 2. Cho a,bge0 thỏa mãn a-sqrt{a}sqrt{b}-b, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:Mleft(a-bright)left(a+b-1right). 3. Cho Delta OEF vuông tại O có OEa, OFb, EFc và widehat{OEF}alpha, widehat{OFE}beta.1)i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức Adfrac{a+b}{c}+dfrac{c}{a+b} nhận giá trị nguyên.ii, Giả sử csqrt{ab}sqrt{2} , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...
Đọc tiếp
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\).
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\).
3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\), \(OF=b\), \(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\), \(\widehat{OFE}=\beta\).
1)
i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức \(A=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{c}{a+b}\) nhận giá trị nguyên.
ii, Giả sử \(c\sqrt{ab}=\sqrt{2}\) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(a+b\right)^2\).
2)
i, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\beta}-2\left(\sin^2\alpha+\sin^2\beta\right)+\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}-\dfrac{\tan\alpha+\cos\beta}{\cot\beta}\) .
ii, Tìm điều kiện của \(\Delta OEF\) khi \(2\cos^2\beta-\cot^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2\).
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đúng 3
Bình luận (0)
cho 3 số thực dương a b c thỏa mãn a+b+c=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a và b là hai số dương thỏa mãn ab=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(F=\left(2a+2b-3\right)\left(a^3+b^3\right)+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
Có \(2a+2b-3\ge2\sqrt{2a.2b}-1=1\)(vì ab=1)
\(\Rightarrow F\ge a^3+b^3+\frac{7}{\left(a+b\right)^2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn b2+c2<=a2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P=\(\frac{1}{a}\left(b^2+c^2\right)+a^{2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}\)
cho a,b,c la các số thực dương thoả mãn 2(a+b)+b=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\frac{1}{\left(a+3\right)^2}+\frac{4}{\left(b+4\right)^2}+\frac{8}{\left(c+5\right)^2}\)