Ta có: 

\(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(3a+2b\right)\left(a+4b\right)}\le2a+3b\)

Khi đó \(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\), tương tự ta có:

\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ca}}\)

\(\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:

\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)\)

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\)

\(=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với:

\(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+24abc}\)

Ta chứng minh được \(\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)nên ta được:

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a+b+c\right)^2\)

Hay \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Có: \(\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}}\ge\frac{1}{\frac{\left(2a+1\right)+\left(4a^2-2a+1\right)}{2}}=\frac{1}{2a^2+1}\)

( Sử dụng bđt: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\))

Tường tự rồi cộng lại:

\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{9}{9}=1\)

Vậy...

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ

\(\frac{1}{8x^2+1}\ge\frac{2}{x+1}-1\)

\(\Leftrightarrow4x^3-4x^2+x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-1\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge-1+\frac{2}{a+1}-1+\frac{2}{b+1}-1+\frac{2}{c+1}\)

\(=-3+2\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)=-3+4=1\)

Ta có: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\)

Xét BĐT  \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{8a^2+1}\ge1\Leftrightarrow3-\Sigma_{cyc}\frac{1}{8a^2+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{8a^2}{8a^2+1}\le2\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{4a^2}{8a^2+1}\le2\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{4x^2}{8x^2+1}\le\frac{x}{x+1}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{x\left(2x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(8x^2+1\right)}\)(đúng với mọi x thực dương)

Áp dụng, ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\text{​​}\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1\)

Mà \(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge1\Leftrightarrow\frac{8a^2}{8a^2+1}+\frac{8b^2}{8b^2+1}+\frac{8c^2}{8c^2+1}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{8a^2+1}+\frac{4b^2}{8b^2+1}+\frac{4c^2}{8c^2+1}\le1\)

Bây giờ ta dẽ chứng minh \(\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\frac{a}{a+1}\Leftrightarrow4a^3+4a^2\le8a^3+a\Leftrightarrow0\le4a^3-4a^2+a^2\)

\(\Leftrightarrow0\le4a^2-4a+1\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(2a-1\right)^2\) nên \(\frac{4a^2}{8a^2+1}\le\frac{a}{a+1}\left(1\right)\)

Tương tự có: \(\hept{\begin{cases}\frac{4b^2}{8b^2+1}\le\frac{b}{b+1}\left(2\right)\\\frac{4c^2}{8c^2+1}\le\frac{c}{c+1}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng các vế của (1)(2)(3) được \(\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)

\(\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+12ab+2ab}}\ge\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+9b^2+12ab+a^2+b^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\frac{a^2}{2a+3b}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)