Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(P=\sqrt{\left(x+1995\right)^2}+\sqrt{\left(x+1996\right)^2}\)
Tính giá trị nhỏ của biểu thức
\(P=\sqrt{\left(x+1995\right)^2}+\sqrt{\left(x+1996\right)^2}\)
Ta có
\(P=\sqrt{\left(x+1995\right)^2}+\sqrt{\left(x+1996\right)^2}\)
\(\Rightarrow P=\left|x+1995\right|+\left|x+1996\right|\)
\(\Rightarrow P=\left|-x-1995\right|+\left|x+1996\right|\)
Ta có \(\begin{cases}\left|-x-1995\right|\ge-x-1995\\\left|1996+x\right|\ge1996+x\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left|-x-1995\right|+\left|x+1996\right|\ge-\left(x+1995\right)+\left(x+1996\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}-\left(x+1995\right)\ge0\\x+1996\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le-1995\\x\ge-1996\end{cases}\)
Vậy MINP=1 khi \(-1996x\le x\le-1995\)
Ta có : \(P=\sqrt{\left(x+1995\right)^2}+\sqrt{\left(x+1996\right)^2}=\left|x+1995\right|+\left|x+1996\right|\)
\(=\left|-x-1995\right|+\left|x+1996\right|\ge\left|-x-1995+x+1996\right|=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}-x-1995\ge0\\x+1996\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow-1996\le x\le-1995\)
Vậy Min P = 1 <=> \(-1996\le x\le-1995\)
Tìm Min P = \(\sqrt{\left(x+1995\right)^2}+\sqrt{\left(x+1996\right)^2}\)
cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiên \(x+y+25=8\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-5}\right)\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-5\right)}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(C=\sqrt{\left(x+2017\right)^2}+\sqrt{\left(x+2018\right)^2}+\sqrt{\left(x+2019\right)^2}\)
C = ..................................................................... ( giống cái đề bài )
= ( x + 2017 ) + ( x + 2018 ) + ( x + 2019 )
= ( x + x + x ) + ( 2017 + 2018 + 2019 )
= 3x + 6054
Vì ( x + 2017 ) là căn bậc 2 của ( x+2017 )^2 => x+2017 > hoặc = 0
( x + 2018 ) ........................... ( x+2018)^2 => x+2018 > hoặc = 0
( x + 2019) ............................( x+2019 )^2 => x+2019 > hoặc = 0
SUY RA ( x+2017 ) + ( x+2018 ) + ( x+2019 ) > hoặc = 0 => 3x + 6054 > hoặc = 0
dấu đẳng thức xảy ra <=> 3x + 6054 = 0 <=> 3x = - 6054 <=> x = - 2018
Vậy C có GTNN là 0 khi x = - 2018
1. Cho số nguyên dương x, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)^6}{\left(x^3+7\right)\left(x^3+3x^2+4\right)}\).
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a-\sqrt{a}=\sqrt{b}-b\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)\).
3. Cho \(\Delta OEF\) vuông tại O có \(OE=a\), \(OF=b\), \(EF=c\) và \(\widehat{OEF}=\alpha\), \(\widehat{OFE}=\beta\).
1)
i, Chứng minh rằng không có giá trị nào của a,b,c để biểu thức \(A=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{c}{a+b}\) nhận giá trị nguyên.
ii, Giả sử \(c\sqrt{ab}=\sqrt{2}\) , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(a+b\right)^2\).
2)
i, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\beta}-2\left(\sin^2\alpha+\sin^2\beta\right)+\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}-\dfrac{\tan\alpha+\cos\beta}{\cot\beta}\) .
ii, Tìm điều kiện của \(\Delta OEF\) khi \(2\cos^2\beta-\cot^2\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2\).
Tìm x,y,z biết:
a.\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
b.\(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1995}+\sqrt{z-1996}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P\left(x,y\right)=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2}\)
Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.
Cô làm như sau:
Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)
Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:
Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác xD = yD.
Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)
Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có: \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)
\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)
Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
T cũng nghĩ dùng hình học giải tích Oxy giải thì được
rút gọn \(P=\left(\sqrt{x}-\dfrac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-4}{1-x}\right)\)
tìm giá trị nhỏ nhất của P
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 1$
\(P=\frac{x+\sqrt{x}-(x+2)}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\right]\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
Với mọi $x\geq 0; x\neq 1$ thì $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\geq 1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{2}$ khi $x=0$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(\sqrt{\left(x-1999\right)^2}-\sqrt{\left(x-2000\right)^2}\)