Cho các số thực dương thỏa mãn a+b+c =9. CMR: \(\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}\ge\frac{27}{4}\)Mong các cao nhân hỗ trọ bằng BĐT Cauchy ạ!
Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn a+b+c=9. CMR: \(\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}\ge\frac{27}{4}\)Mong các chuyên toán hỗ trợ ạ!
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)
Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)
\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được cm
Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=9\)Tìm GTNN của \(P=\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\)Mong các cao nhân trợ giúp bằng BĐT Cô si ạ!
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(a^2+3\ge2\sqrt{3a^2}=2\sqrt{3}a\)
Tương tự: \(b^2+3\ge2\sqrt{3}b\) ; \(c^2+3\ge2\sqrt{3}c\)
Cộng vế: \(a^2+b^2+c^2+9\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9+9}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\sqrt{3}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(b+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\dfrac{6a^2}{2+\sqrt{3}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(c+2\right)\ge\dfrac{6b^2}{2+\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)}\left(a+2\right)\ge\dfrac{6c^2}{2+\sqrt{3}}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}.\left(3\sqrt{3}+6\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{27}{2+\sqrt{3}}=27\left(2-\sqrt{3}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3
CMR \(\frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^2a^2}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
mong các bạn và thầy cô giúp đỡ ạ!
Cho các số dương a,b,c thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của \(P=\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\). Mong các cao nhân hỗ trợ (bằng BĐT Cô si)
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)
Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Lại có \(b+2=3\)
Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:
\(\frac{a^4}{b+2}+\text{}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)
Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và
\(\frac{c^4}{a+2}+\text{}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)
CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)
Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3\)
\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\)
Vẫn áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)9}}=\dfrac{2a^2}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{c+2}{9}\ge\dfrac{2b^2}{3}\) ; \(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{a+2}{9}\ge\dfrac{2c^2}{3}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{a+b+c+6}{9}\ge\dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
\(\Rightarrow P\ge2-\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{6}{9}\ge2-\dfrac{1}{9}.3-\dfrac{6}{9}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\ge\sqrt{82}\)
Không dùng các BĐT cổ điển nha mb
1+1+1+1+1+2=7
đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=P\)
phương pháp khảo sát hàm đặc trưng rất hữu hiệu cho những bài bất đẳng thức đối xứng
bài toán cho f(x)+f(y)-f(z) >= A
tìm min, max của S-g(x)+g(y)+g(z)
*nháp
điều kiện x,y,z thuộc D, dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\alpha\). Khảo sát hàm đặc trưng h(t)-g(t)-mf(t) với m=\(\frac{g'\left(\alpha\right)}{f'\left(\alpha\right)}\)sau khi đã tìm được m chỉ cần xét đạo hàm h(t) nữa là xong
ta khảo sát hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}-mx\)
để hàm số có cực tiểu thì f(x)=0 \(\Leftrightarrow\frac{x^4-1}{x^3\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}-m=0\)nhận thấy "=" ở x=\(\frac{1}{3}\)nên m=\(\frac{80}{-\sqrt{82}}\)
xét hàm số đại diện f(t)=\(\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}-\frac{80}{\sqrt{82}}t\)trên (0;1) có f(t)\(\ge f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{162}{3\sqrt{82}}\)
vậy thì \(P\ge-\frac{80}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\frac{162}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)
bài toán được chứng minh xong
cách khảo hàm mình không chắc chắn lắm nên mình làm theo 1 cách khác nữa!
đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=S\)
đặt \(\overrightarrow{x}=\left(a;\frac{1}{a}\right);\overrightarrow{y}\left(b;\frac{1}{b}\right);\overrightarrow{z}\left(c;\frac{1}{c}\right)\)
ta có \(\left|\overrightarrow{x}\right|+\left|\overrightarrow{y}\right|+\left|\overrightarrow{z}\right|\ge\left|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\right|\)nên
\(S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
ta có \(\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=81\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-80\left(a+b+c\right)^2\)
\(\ge18\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-80\left(a+b+c\right)^2\ge82\)
=> S\(\ge\sqrt{82}\left(đpcm\right)\)
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:\(\sqrt{\frac{a}{3b^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{3c^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{3a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 . CMR
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{9}{10}\)
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Không mất tỉnh tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow a\ge\frac{1}{3}\ge c\). Xét hai trường hợp sau:
+) TH 1: \(c\ge\frac{-3}{4}\)ta có
\(\frac{9}{10}-\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)=\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{18a}{25}+\frac{5}{30}-\frac{a}{a^2+1}\right)\)\(=\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\)
+) TH 2: \(c\le\frac{-3}{4}\)Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le1\)
Khi đó nếu \(\frac{c}{c^2+1}\le-\frac{9}{10}\Leftrightarrow-5-2\sqrt{6}\le c\le-\frac{3}{4}\)ta có ngay điều phải chứng minh
Xét trường hợp \(-5-2\sqrt{6}\ge c\)khi đó ta có \(3+\sqrt{6}\le a\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{5}\).Từ đây suy ra:
\(\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)\le\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}< \frac{9}{10}\)
Vậy bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}.\)
(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)