Cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a+2b+c≥≥ 4(1-a)(1-b)(1-c)
Những câu hỏi liên quan
Cho ba số không âm a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le a+2b+c\)
Ta có:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le4\left(1-b\right).\frac{\left(1-a+1-c\right)^2}{4}\)
\(=\left(1-b\right)\left(2-a-c\right)^2=\left(1-b\right)\left(a+2b+c\right)^2\)
\(=\left(1-b\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c\right)\)
\(\le\left(a+2b+c\right).\frac{\left(a+2b+c+1-b\right)^2}{4}\)
\(=\left(a+2b+c\right).\frac{\left(a+b+c+1\right)^2}{4}\)
\(=\left(a+2b+c\right).\frac{4}{4}=a+2b+c\)
Dấu = xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}1-a=1-c\\a+2b+c=1-b\\a+b+c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c=\frac{1}{2}\\b=0\end{cases}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số thực không âm a, b, c và thoả mãn a+b+c=1 . Chứng minh rằng :
a + 2b +c ≥ 4(1 - a)(1-b)(1-c)
Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\) \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)
AD BĐT AM - GM ta được : \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)
( đpcm )
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho ba số thực không âm a,b,c và thỏa mãn a + b + c =1.Chứng minh rằng a + 2b + c ≥ 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)
Xét \(VT=a+2b+c=1+b\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(1-a+1-c\right)^2=\left(2-a-c\right)^2=\left(1+a+b+c-a-c\right)^2=\left(1+b\right)^2\left(2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\)
Mà \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2-\left(1-b\right)=\left(1+b\right)\left(1-b^2-1\right)=-b^2\left(1+b\right)\le0,\forall b\ge0\)
Do đó \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\le1+b\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta có ĐPCM
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
Đúng 3
Bình luận (1)
cho a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng: 1/a^3+1/b^3+1/c^3+1/d^3 >= 1/a^2b+1/b^2c+1/c^2d+1/d^2a
Bài 1. Tìm các số thực x thỏa mãn:a. |3 − |2x − 1|| x − 1b. |x − 1| + |2x − 2| + |4x − 4| + |5x − 5| 36c. |x − 2| + |x − 3| + ... + |x − 9| 1 − xBài 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c 0. Chứng minh rằng: |a| + |b| + |c| là một sốchẵn.Bài 3. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c 2020. Tổng A |a − 1| + |b + 1| + |c − 2020|có thể bằng 2021 được không? Vì sao?Bài 4. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: |a − 2b| + |4b − 3c| + |c − 3a| là một số chẵn.
Đọc tiếp
Bài 1. Tìm các số thực x thỏa mãn:
a. |3 − |2x − 1|| = x − 1
b. |x − 1| + |2x − 2| + |4x − 4| + |5x − 5| = 36
c. |x − 2| + |x − 3| + ... + |x − 9| = 1 − x
Bài 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: |a| + |b| + |c| là một số
chẵn.
Bài 3. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2020. Tổng A = |a − 1| + |b + 1| + |c − 2020|
có thể bằng 2021 được không? Vì sao?
Bài 4. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: |a − 2b| + |4b − 3c| + |c − 3a| là một số chẵn.
Cho các số thực a, b, c, d không âm và có tổng là 3. Chứng minh rằng:
\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{d^3+1}+d\sqrt{a^3+1}\le5\)
Bài 1. Tìm các số thực x thỏa mãn:a. |3 − |2x − 1|| x − 1b. |x − 1| + |2x − 2| + |4x − 4| + |5x − 5| 36c. |x − 2| + |x − 3| + ... + |x − 9| 1 − xBài 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c 0. Chứng minh rằng: |a| + |b| + |c| là một sốchẵn.Bài 3. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c 2020. Tổng A |a − 1| + |b + 1| + |c − 2020|có thể bằng 2021 được không? Vì sao?Bài 4. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: |a − 2b| + |4b − 3c| + |c − 3a| là một số chẵn.Các thần đồng đâu...
Đọc tiếp
Bài 1. Tìm các số thực x thỏa mãn:
a. |3 − |2x − 1|| = x − 1
b. |x − 1| + |2x − 2| + |4x − 4| + |5x − 5| = 36
c. |x − 2| + |x − 3| + ... + |x − 9| = 1 − x
Bài 2. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: |a| + |b| + |c| là một số
chẵn.
Bài 3. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2020. Tổng A = |a − 1| + |b + 1| + |c − 2020|
có thể bằng 2021 được không? Vì sao?
Bài 4. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: |a − 2b| + |4b − 3c| + |c − 3a| là một số chẵn.
Các thần đồng đâu hết rùi
Giải hộc cái bài nào
Cho các số thực a, b, c, d không âm và có tổng là 3. Chứng minh rằng:
\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{d^3+1}+d\sqrt{a^3+1}\le5\)
1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{xy}{6}3, chứng minh rằng 27x^3+8y^3ge4322) Với a, b, c không âm thỏa mãn a^2+b^2+c^21, chứng minh rằng a^3+2b^3+3c^3gefrac{6}{7}3) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng x+sqrt{xy}+sqrt[3]{xyz}lefrac{4}{3}
Đọc tiếp
1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{xy}{6}=3\), chứng minh rằng \(27x^3+8y^3\ge432\)
2) Với a, b, c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\frac{6}{7}\)
3) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng \(x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\le\frac{4}{3}\)