\(\Delta=\left(n-2\right)^2+12>0\) ; \(\forall n\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi n

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=n-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1^2+2018}-x_2=\sqrt{x_2^2+2018}+x_1\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1^2+x_2^2+2018+2x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)

\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)

\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2018\right)=x_1^2\left(x_2^2+2018\right)\)

\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\) (do \(x_1;x_2\) trái dấu)

\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)

Thử lại với \(n=2\) thấy đúng. Vậy...

Bài 12: 

Để N là số nguyên thì \(\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow-2⋮\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+5\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)(vô lý

Bài 11: 

Để M là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}+3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{4;8\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{1;25\right\}\)

4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)

\(6\sqrt{55}\)  là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa  \(\sqrt{55}\)

Đặt  \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)  với  \(a,b\in N\)

\(\Rightarrow a+b=6\)

Xét các TH:

a = 0 => b = 6

a = 1 => b = 5

a = 2 => b = 4

a = 3 => b = 3

a = 4 => b = 2

a = 5 => b = 1

a = 6 => b = 0

Từ đó dễ dàng tìm đc x, y

Biên cưng. Minh Quân đây. 

c: P=A:B

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\)

=>\(P=\dfrac{\sqrt{x}-2+4}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)

Để P lớn nhất thì \(\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\) lớn nhất

=>\(\sqrt{x}-2=1\)

=>\(\sqrt{x}=3\)

=>x=9(nhận)

\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\left(1\right)\)

\(\text{ĐKXĐ}:x^3+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

\(\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\)

sửa (*) thành (1) nhé

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$⇔x=5+√372 

$\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$⇔x=5−√372